Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，P在對(duì)角線BD上，E在CB的延長(zhǎng)線上，且PE=PC，過點(diǎn)P作PF⊥AE于F，直線PF分別交AB、CD于G、H，

（1）求證：DH=AG+BE；

（2）若BE=1，AB=3，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） .

【解析】

試題

（1）如圖，在DC上截取DM=BE，連接AM，則由已知可證△ABE≌ADM，再證四邊形AGHM是平行四邊形就可得MH=AG，再由DH=MH+DM=AG+BE即可得到結(jié)論；

（2）如圖，連接AP，由已知可證：△ABP≌△CBP，得到PA=PC，∠3=∠4，結(jié)合PC=PE可證得PA=PE，∠3=∠5；再由∠5+∠BNE=∠3+∠ANP=90°，可證∠APE=90°，由此可得△APE是等腰直角三角形；在△ABE中由勾股定理求得AE的長(zhǎng)就可解得PE的長(zhǎng).

試題解析：

（1）在DC上截取DM=BE，連接AM，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABE=∠ADM=90°，AB=AD，

∵在△ABE和△ADM中： ，

∴△ABE≌ADM，

∴∠1=∠2，

∴∠1+∠BAM=∠2+∠BAM=90°，

∴AM⊥AE．

又∵PF⊥AE于F，

∴AM∥FH，

又∵AB∥CD，

∴四邊形AGHM是平行四邊形，

∴ AG=MH，

∵ DH=DM+MH，

∴ DH=AG+BE．

（2）連接AP．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

∵在△ABP和△CBP中： ，

∴△ABP≌△CBP，

∴PA=PC，∠3=∠4，

∵PE=PC，

∴PA=PE，∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

又∵∠ANP=∠ENB，

∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，

∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，

∵BE=1，AB=3，

∴ AE=，

∴ PE=．