Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O過點B，C，且與BA，CA的延長線分別交于點D，E，弦DF∥AC，EF的延長線交BC的延長線于點G．

（1）求證：△BEF是等邊三角形；

（2）若BA=4，CG=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BF=2.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)三角形ABC是等邊三角形，得到∠BCA=∠BAC=60°，再根據(jù)圓周角定理的推論得到∠BFE=∠BCA=60°．根據(jù)兩條平行弦所夾的弧相等證明弧DE=弧CF，從而得到∠EBD=∠CBF，∠EBF=∠ABC=60°，從而證明結(jié)論；

（2）結(jié)合等邊三角形的邊相等，盡量能夠把已知的線段和未知的線段放到兩個相似三角形中，進行求解．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BCA=∠BAC=60°，

∵DF∥AC，

∴∠D=∠BAC=60°，∠BEF=∠D=60°，

又∵∠BFE=∠BCA=60°，

∴△BEF是等邊三角形．

（2）解：∵∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠FBG=∠ABE，

又∠BFG=∠BAE=120°，

∴△BFG∽△BAE，

∴ ，

又BG=BC+CG=AB+CG=6，BE=BF，

∴BF2=ABBG=24，

可得BF=2（舍去負值）．