Question

已知，如圖，點C在線段AB上，在AB的同旁作等邊△ADC和等邊△BCE，連接AE、BD交CD、CE于M、N兩點．
（1）求證：AE=BD；
（2）求證：MN∥AB；
（3）如果把△BEC繞著C點旋轉(zhuǎn)任意角度，上述結(jié)論中哪些還成立？請簡要說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線的判定,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，再利用角的和差得∠ACE=∠DCB，可證明△ACE≌△DCB，可得AE=BD；
（2）利用條件結(jié)合（1）中△ACE≌△DCB，可證明△EMC≌△BNC，可得CM=CN，結(jié)合條件可得△CMN為等邊三角形，可得到∠BCE=∠MNC=60°，可證得MN∥AB；
（3）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證明△ACE≌△BNC（SAS），可得AE=BD．

解答：（1）證明：∵等邊△ADC和等邊△BCE，
∴AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB CE=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）證明：∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC，
∵∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°=∠BCE，
在△EMC和△BNC中，

∠ECB=∠ECM ∠AEC=∠CBD EC=BC

，
∴△EMC≌△BNC（AAS），
∴CM=CN，
∵∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠BCE=∠MNC=60°，
∴MN∥AB；
（3）解：結(jié)論（1）成立，理由如下：
不論旋轉(zhuǎn)多少度，AC=CD，BC=CE，∠DCA=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中，

AC=CD ∠DCA=∠ECB BC=CE

，
∴△ACE≌△BNC（SAS），
∴AE=BD．

點評：本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定及等邊三角形的性質(zhì)和判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．