Question

20．如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4$\sqrt{2}$，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F
（1）求證：$\frac{PC}{CD}=\frac{CE}{CB}$；
（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由；
（3）設PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，進而得出答案；
（2）首先得出△PCE∽△DCB，進而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC與BD的位置關系；
（3）首先利用相似三角形的性質表示出BD，PM的長，進而表示出△PBD的面積．

解答 （1）證明：∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，
∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，
∴△BCE∽△DCP，
∴$\frac{PC}{DC}$=$\frac{EC}{CB}$；

（2）解：AC∥BD，
理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，
∴∠PCE=∠BCD，
又∵$\frac{PC}{DC}$=$\frac{EC}{CB}$，
∴△PCE∽△DCB，
∴∠CBD=∠CEP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠CBD，
∴AC∥BD；

（3）解：如圖所示：作PM⊥BD于M，
∵AC=4$\sqrt{2}$，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，
∴BE=CE=4，
∵△PCE∽△DCB，
∴$\frac{EC}{CB}$=$\frac{PE}{BD}$，即$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{x}{BD}$，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，
∴PM=sin45°•（4+x）=$\frac{\sqrt{2}（4+x）}{2}$，
∴△PBD的面積S=$\frac{1}{2}$BD•PM=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$x×$\frac{\sqrt{2}（4+x）}{2}$=$\frac{1}{2}$x²+2x．

點評 此題主要考查了相似形綜合、平行線的判定方法以及相似三角形的判定與性質等知識，正確表示出PM的長是解題關鍵．