Question

8．如圖，已知一個(gè)直角三角形紙片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分別是AC、AB邊上點(diǎn)，連接EF．
（1）圖①，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，且使S_{四邊形ECBF}=3S_△EDF，求AE的長(zhǎng)；
（2）如圖②，若將紙片ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，且使MF∥CA．
①試判斷四邊形AEMF的形狀，并證明你的結(jié)論；
②求EF的長(zhǎng)；
（3）如圖③，若FE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，CN=1，CE=$\frac{4}{7}$，求$\frac{AF}{BF}$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用折疊的性質(zhì)得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，則S_△AEF=S_△DEF，則易得S_△ABC=4S_△AEF，再證明Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的長(zhǎng)；
（2）①通過(guò)證明四條邊相等判斷四邊形AEMF為菱形；
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4-x，先證明△CME∽△CBA得到$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解出x后計(jì)算出CM=$\frac{4}{3}$，再利用勾股定理計(jì)算出AM，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算EF；
（3）如圖③，作FH⊥BC于H，先證明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再證明△BFH∽△BAC，利用相似比可計(jì)算出x=$\frac{2}{5}$，則可計(jì)算出FH和BH，接著利用勾股定理計(jì)算出BF，從而得到AF的長(zhǎng)，于是可計(jì)算出$\frac{AF}{BF}$的值．

解答 解：（1）如圖①，
∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S_△AEF=S_△DEF，
∵S_{四邊形ECBF}=3S_△EDF，
∴S_△ABC=4S_△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽R(shí)t△ABC，
∴$\frac{{S}_{△AEF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AE}{AB}$）²，即（$\frac{AE}{5}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴AE=$\frac{5}{2}$；
（2）①四邊形AEMF為菱形．理由如下：
如圖②，∵△ACB的一角沿EF折疊，折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)M處，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵M(jìn)F∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四邊形AEMF為菱形；
②連結(jié)AM交EF于點(diǎn)O，如圖②，
設(shè)AE=x，則EM=x，CE=4-x，
∵四邊形AEMF為菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CB}$=$\frac{CE}{CA}$=$\frac{EM}{AB}$，即$\frac{CM}{3}$=$\frac{4-x}{4}$=$\frac{x}{5}$，解得x=$\frac{20}{9}$，CM=$\frac{4}{3}$，
在Rt△ACM中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{3}$，
∵S_菱形AEMF=$\frac{1}{2}$EF•AM=AE•CM，
∴EF=2×$\frac{\frac{4}{3}×\frac{20}{9}}{\frac{4\sqrt{10}}{3}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{9}$；
（3）如圖③，作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=$\frac{4}{7}$：FH，
∴FH：NH=4：7，
設(shè)FH=4x，NH=7x，則CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4-7x）：3=4x：4，解得x=$\frac{2}{5}$，
∴FH=4x=$\frac{8}{5}$，BH=4-7x=$\frac{6}{5}$，
在Rt△BFH中，BF=$\sqrt{（\frac{6}{5}）^{2}+（\frac{8}{5}）^{2}}$=2，
∴AF=AB-BF=5-2=3，
∴$\frac{AF}{BF}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的綜合題：熟練掌握折疊的性質(zhì)和菱形的判定與性質(zhì)；靈活構(gòu)建相似三角形，運(yùn)用勾股定理或相似比表示線段之間的關(guān)系和計(jì)算線段的長(zhǎng)．解決此類(lèi)題目時(shí)要各個(gè)擊破．