【題目】如圖1,點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)(端點(diǎn)除外),點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時出發(fā),且它們的運(yùn)動速度相同,連接AQ、CP交于點(diǎn)M.
(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點(diǎn)P、Q在分別運(yùn)動到點(diǎn)B和點(diǎn)C后,繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動,直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則∠QMC= 度.(直接填寫度數(shù))
【答案】(1)見解析;(2)不變,60°;(3)120°.
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),利用SAS證明△ABQ≌△CAP;
(2)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=60°;
(3)由△ABQ≌△CAP根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠ACP,從而得到∠QMC=120°.
(1)證明:∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA,
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ與△CAP中,
,
∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)解:點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC,
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°;
(3)解:∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°﹣∠PAC=180°﹣60°=120°.
故答案為:120°.
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(1)如果甲、乙兩個班聯(lián)合起來購買門票,那么比各自購買門票可以節(jié)省多少錢?
(2)甲、乙兩個班各有多少學(xué)生?
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