Question

已知拋物線C₁：y=（x+4）²-1交y軸交于點(diǎn)E，對稱軸AP交拋物線、x軸于點(diǎn)A、P．在直線AP右側(cè)的x軸上有一點(diǎn)M，且tan∠PAM=3，將拋物線C₁繞點(diǎn)M 旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂，點(diǎn)B為C₂的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）已知點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，△ABN的內(nèi)心在y軸上，求N點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）將拋物線C₂沿其對稱軸向上平移m個(gè)單位長度（m＞0），得到拋物線C₃，其頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為F，是否存在m的值，使四邊形AEDF為梯形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁：y=（x+4）²-1=x²+4x+7，
∴A（-4，-1）、E（0，7）；
△PAM中，AP=1，tan∠PAM=3，∴PM=3PA=3，OM=OP-PM=1
∴M（-1，0）；
依題意，點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，則 B（2，1）
∴拋物線C₂：y=-（x-2）²+1．

（2）△ABN的內(nèi)心在y軸上，則ON平分∠ANB；
過點(diǎn)A作AG⊥y軸于G，BH⊥y軸于H，如右圖；
設(shè)N（0，y），則 NH=y-1、NG=y+1；
∵∠ANG=∠BNH、∠AGN=∠BHN=90°
∴△ANG∽△BNH，
∴=，即 =，解得 y=3
∴N（0，3）．

（3）依題意，設(shè)拋物線C₃：y=-（x-2）²+1+m=-x²+2x+m-1（m＞0）；
∴D（2，m+1）、F（0，m-1）；
已知A（-4，-1）、E（0，7）；
∴k_AE==2、k_DF==1、k_AF==、k_DE==；
∴k_AE≠k_DF，
∴AE與DF不平行；
因此只考慮AF與DE平行這一種情況，則有：
=，解得 m=12；
所以當(dāng)m=12時(shí)，四邊形AEDF是梯形．
分析：（1）首先能確定拋物線C₁的頂點(diǎn)A和與y軸交點(diǎn)E的坐標(biāo)；根據(jù)條件∠PAM=3能確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；拋物線C₁旋轉(zhuǎn)180°后，開口方向向下，旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)前的頂點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)M對稱，可據(jù)此求出拋物線C₂的解析式．
（2）若△ABN的內(nèi)心在y軸上，那么點(diǎn)N必在∠ANB的角平分線上，所以分別過點(diǎn)A、B作y軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形即可確定點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）首先求出平移后的拋物線C₃解析式，能確定點(diǎn)D、F的坐標(biāo)，然后表示出四邊形四邊的斜率，令兩組對邊分別平行（即斜率相同），先求出m的值（需注意m＞0），進(jìn)一步得到點(diǎn)D、F的坐標(biāo)后，再確定另兩組對邊是否相等，若相等，那么四邊形是平行四邊形，若不相等，則是梯形．
點(diǎn)評：題目主要考查的是函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)和平移、三角形內(nèi)心的特點(diǎn)以及梯形的判定等知識；需要注意的是在梯形的判定條件中，一定不要漏掉“另一組對邊不平行”的條件．