Question

【題目】在等邊△ABC的外側(cè)作直線BD，作點(diǎn)A關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接AA′交直線BD于點(diǎn)E，連接A′C交直線BD于點(diǎn)F．
（1）依題意補(bǔ)全圖1，已知∠ABD=30°，求∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，若60°＜∠ABD＜90°，判斷直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是否為定值？若是，求出這個(gè)銳角的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：補(bǔ)全的圖1如下所示：

連接BA′，

∵由已知可得，BD垂直平分AA′，∠ABD=30°，△ABC是等邊三角形，

∴△BA′A是等邊三角形，AA′∥BC且AA′=BC，A′A=A′B，

∴四邊形AA′BC是菱形，

∵∠ACB=60°，

∴∠BCE=30°

（2）解：直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是定值，若下圖所示，

連接AF交BC于點(diǎn)G，

由已知可得，BA′=BA，BA=BC，F(xiàn)A′=FA，

則∠BA′A=∠BAA′，∠FA′A=∠FAA′，BA′=BC，

∴∠BA′C=∠BCA′，∠FA′B=∠FAB，

∴∠BCA′=∠FAB，

∵∠FGC=∠BGA，∠ABC=60°，

∴∠CFA=∠ABC=60°，

∵∠AFC+∠AFD+∠A′FD=180°，∠A′FD=∠AFD，

∴∠A′FD=60°，

即直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)是定值，這個(gè)銳角的度數(shù)是60°

【解析】（1）根據(jù)題意可以作出相應(yīng)的圖形，連接A′B，由題意可得到四邊形AA′BC是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角，可以得到∠BFC的度數(shù)；（2）畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可以得到相等的線段和相等的角，由等邊△ABC，可以得到BC=BA，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，可以推出直線BD和A′C相交所成的銳角的度數(shù)，本題得以解決．
【考點(diǎn)精析】利用等邊三角形的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個(gè)角都相等并且每個(gè)角都是60°．