Question

20．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（0，-8），點(diǎn)A、B在x軸上，且CA=CB=10．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及直線BC的函數(shù)關(guān)系式
（2）在線段BC上有一動(dòng)點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線把△ABC分成兩份，且這兩份的面積之比為1：2，求動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）與線段BC相交于點(diǎn)E，連接AE交OC于點(diǎn)F，且S_△AOF=S_△CEF，求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）先用勾股定理求出OA=OB=6，得到點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出直線解析式；
（2）先求出S_△ABC=48，用面積之比為1：2，得到S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=16和S_△ABD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=32兩種情況計(jì)算即可；
（3）根據(jù)S_△AOF=S_△CEF，判斷出S_△ACO=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，即AE是△ABC的中線，用中點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（0，-8），
∴OC=8，
在Rt△AOC和Rt△BOC中，CA=CB=10，
∴OA=OB=6，
∴A（-6，0），B（6，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-8，
（2）如圖1
∵A（-6，0），B（6，0），
∴AB=12，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×12×8=48，
∵經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)的直線把△ABC分成兩份，且這兩份的面積之比為1：2
∴①S_△ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$×48=16，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DH=$\frac{1}{2}$×12×DH=16，
∴DH=$\frac{8}{3}$，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-$\frac{8}{3}$
∵D在直線BC上，
由（1）有，直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴-$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$x-8，
∴x=4，
∴D（4，-$\frac{8}{3}$），
②S_△ABD=$\frac{2}{3}$S_△ABC=$\frac{2}{3}$×48=32，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB×DH=$\frac{1}{2}$×12×DH=32，
∴DH=$\frac{16}{3}$，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-$\frac{16}{3}$
∵D在直線BC上，
由（1）有，直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-8，
∴-$\frac{16}{3}$=$\frac{4}{3}$x-8，
∴x=2，
∴D（2，-$\frac{16}{3}$），
∴D（4，-$\frac{8}{3}$）或D（2，-$\frac{16}{3}$），
（3）如圖2，

S_△AOF=S_△CEF，
∴S_△AOF+S_△ACF=S_△CEF+S_△ACF
∴S_△ACO=S_△ACE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴AE是△ABC的中線，
∴點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∵B（6，0），C（0，-8），
∴E（3，-4）．
∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=3×（-4）=-12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{12}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的計(jì)算，同底的兩三角形的面積比等于高的比，解本題的關(guān)鍵是同底的兩三角形的面積比等于高的比，求出DH，難點(diǎn)是判斷出AE是△ABC的中線．