Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線的頂點(diǎn)為P，求∠PAC正切值；
（3）若以A、P、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)代入y=ax²+bx+c即可求出；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出PA，PC，AC，從而得出∠PAC正切值；
（3）求出直線AC的解析式，直線AP的解析式，直線PC的解析式，當(dāng)AC是平行四邊形的一條對角線時(shí)，當(dāng)PC是平行四邊形的一條對角線時(shí)，當(dāng)AP是平行四邊形的一條對角線時(shí)分別得出．

解答：解：（1）由題意得：

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得：

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴P（-1，4），
∴PA=2

5

，PC=

2

，AC=3

2

，
∵PA²=PC²+AC²
∴∠PCA=90°，
∴tan∠PAC=

PC

AC

=

2

3 2

=

1

3

；

（3）∵直線AC的解析式是：y=x+3，
直線AP的解析式是：y=2x+6，
直線PC的解析式是：y=-x+3，
當(dāng)AC是平行四邊形的一條對角線時(shí)：
PC∥AM，AP∥CM，
∴利用兩直線平行k的值相等，即可得出：
直線MC的解析式是：y=2x+3，
直線AM的解析式是：y=-x-3，
∴M（-2，-1），
當(dāng)PC是平行四邊形的一條對角線時(shí)：同理可得∴M（2，7），
當(dāng)AP是平行四邊形的一條對角線時(shí)：∴M（-4，1），
∴M（-2，-1）或M（2，7）或M（-4，1）．

點(diǎn)評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及解直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)等知識，（3）題中注意分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問題要全面，做到不重不漏．