【題目】【問題情境】
如圖1,四邊形ABCD是正方形,M是BC邊上的一點(diǎn),E是CD邊的中點(diǎn),AE平分∠DAM.
【探究展示】
(1)證明:AM=AD+MC;
(2)AM=DE+BM是否成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.
【拓展延伸】
(3)若四邊形ABCD是長(zhǎng)與寬不相等的矩形,其他條件不變,如圖2,探究展示(1)、(2)中的結(jié)論是否成立?請(qǐng)分別作出判斷,不需要證明.
【答案】(1)見解析;(2)成立,見解析;(3)成立,見解析
【解析】
試題分析:(1)從平行線和中點(diǎn)這兩個(gè)條件出發(fā),延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),易證△ADE≌△NCE,從而有AD=CN,只需證明AM=NM即可.
(2)作FA⊥AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,易證AM=FM,只需證明FB=DE即可;要證FB=DE,只需證明它們所在的兩個(gè)三角形全等即可.
(3)在圖2(1)中,仿照(1)中的證明思路即可證到AM=AD+MC仍然成立;在圖2(2)中,采用反證法,并仿照(2)中的證明思路即可證到AM=DE+BM不成立.
(1)證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)N,如圖1(1),
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠ENC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠ENC=∠MAE.
∴MA=MN.
在△ADE和△NCE中,
∴△ADE≌△NCE(AAS).
∴AD=NC.
∴MA=MN=NC+MC
=AD+MC.
(2)AM=DE+BM成立.
證明:過點(diǎn)A作AF⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,如圖1(2)所示.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB=AD,AB∥DC.
∵AF⊥AE,
∴∠FAE=90°.
∴∠FAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
在△ABF和△ADE中,
∴△ABF≌△ADE(ASA).
∴BF=DE,∠F=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠FAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠FAB
=∠FAM.
∴∠F=∠FAM.
∴AM=FM.
∴AM=FB+BM=DE+BM.
(3)①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立.
證明:延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P,如圖2(1),
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.
∴∠DAE=∠EPC.
∵AE平分∠DAM,
∴∠DAE=∠MAE.
∴∠EPC=∠MAE.
∴MA=MP.
在△ADE和△PCE中,
∴△ADE≌△PCE(AAS).
∴AD=PC.
∴MA=MP=PC+MC
=AD+MC.
②結(jié)論AM=DE+BM不成立.
證明:假設(shè)AM=DE+BM成立.
過點(diǎn)A作AQ⊥AE,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,如圖2(2)所示.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AB∥DC.
∵AQ⊥AE,
∴∠QAE=90°.
∴∠QAB=90°﹣∠BAE=∠DAE.
∴∠Q=90°﹣∠QAB
=90°﹣∠DAE
=∠AED.
∵AB∥DC,
∴∠AED=∠BAE.
∵∠QAB=∠EAD=∠EAM,
∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM
=∠BAM+∠QAB
=∠QAM.
∴∠Q=∠QAM.
∴AM=QM.
∴AM=QB+BM.
∵AM=DE+BM,
∴QB=DE.
在△ABQ和△ADE中,
∴△ABQ≌△ADE(AAS).
∴AB=AD.
與條件“AB≠AD“矛盾,故假設(shè)不成立.
∴AM=DE+BM不成立.
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