Question

19．如圖，已知一次函數(shù)y₁=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)是A（-2，-4），C（4，n），與y軸交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$和一次函數(shù)y₁=kx+b的解析式；
（2）連接OA，OC，求△AOC的面積；
（3）根據(jù)圖象，直接寫出y₁＞y₂時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)A的坐標(biāo)求得反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用C、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將y軸作為分割線，求得△AOC的面積；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行觀察，寫出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時(shí)所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合即可．

解答 解：（1）∵A（-2，-4）在函數(shù)y₂=$\frac{m}{x}$的圖象上
∴m=8，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y₂=$\frac{8}{x}$．
∵點(diǎn)C（4，n）在函數(shù)y₂=$\frac{8}{x}$的圖象上，
∴n=2，即C（4，2），
∵y₁=kx+b經(jīng)過A（-2，-4），C（4，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-4}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為：y₁=x-2；

（2）∵B是直線AC與y軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，
∴點(diǎn)B（0，-2），即OB=2，
∴S_△AOC=S_△AOB+S_△COB=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×2×4=6；

（3）根據(jù)圖象可得，當(dāng)y₁＞y₂時(shí)，x的取值范圍為：-2＜x＜0或x＞4．

點(diǎn)評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．求x的取值范圍，從函數(shù)圖象的角度看，是確定直線在雙曲線上方（或下方）部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．