Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延長DC交AB的延長線于點P．

（1）求證：PC2＝PAPB；

（2）若3AC＝4BC，⊙O的直徑為7，求線段PC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PC＝12．

【解析】

（1）證明△PAC∽△PCB，可得，即可證明PC2=PAPB；

（2）若3AC=4BC，則，由（1）可求線段PC的長．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°．

∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，

∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．

∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，

∴∠PCA=∠PBC．

∵∠BPC=∠CPA，

∴△PAC∽△PCB，

∴，

∴PC2=PAPB；

（2）∵3AC=4BC，

∴．

設(shè)PC=4k，則PB=3k，PA=3k+7，

∴(4k)2=3k(3k+7)，

∴k=3或k=0(舍去)，

∴PC=12．