Question

（本題10分）在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)G，OA⊥CD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線BF交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AC∥BF．

（1）如圖1，求證：FG=FB；

（2）如圖2，連接BD、AC，若BD=BG，求證：AC∥BF；

（3）在（2）的條件下，若tan∠F=，CD=1，求⊙O的半徑

Answer 1

（1）（2）證明見(jiàn)解析；（3）

【解析】

試題分析：（1）連接OB，由BF是圓的切線可得直角，又有垂直，對(duì)頂角，利用等角的余角相等即可證；

（2）∠CAB和∠BDC都是弧BC所對(duì)的圓周角可證∠CAB=∠BDC，又可證∠DGB=∠GDB就可證∠CAB=∠GBF，即可證得平行；

（3）由平行可得∠ACE=∠F就得到tan∠F==tan∠ACE，由垂徑定理可的CE=，再由勾股定理求得AE，連接OE再用勾股定理求得半徑.

試題解析：證明：（1）如圖1

連接OB ∵BF是⊙O的切線

∴∠OBF=90°

∴∠OBA+∠GBF=90°

∵OA⊥CD

∴∠AEG=90° ∴∠AGE+∠EAG=90°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA

∴∠AGE=∠FBG

∵∠AGE=∠FGB

∴∠FGB=∠FBG

∴FG=FB

（2）∵BD=BG ∴∠DGB=∠GDB

∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所對(duì)的圓周角

∴∠CAB=∠BDC

∴∠CAB=∠FGB

∵∠FGB=∠FBG

∴∠CAB=∠GBF

∴AC∥FB

【解析】
（3） 由（2）得∠FBG=∠CAG ∵∠FGB=∠FBG

∴∠CAG=∠FGB ∵∠FGB=∠CGA

∴∠CGA=∠CAG ∴CA=CG

∵AC∥BF∴∠ACE=∠F∴ tan∠ACE=tan∠F

∵tan∠F=∴tan∠ACE=∴

設(shè)AE=3k，則CE=4k. 在Rt△ACE中，

=5k

∴CG=5k

∴EG=CG-CE=5k-4k=k

∴k=1

∴CE=4，AE=3

連接OC,設(shè)⊙O的半徑為R ，在Rt△CEO中，

CO2=CE2＋OE 2 R2=42＋（R-3） 2 解得R=

即⊙O的半徑為.

考點(diǎn)： 切線的性質(zhì)定理，勾股定理，平行的判定.