Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= x2﹣ x+3 與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CD∥x軸，且交拋物線于點(diǎn)D，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，連接AC．

（1）求S△ABD的值；
（2）如圖2，若點(diǎn)P是直線AD下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PF∥y軸交直線AD于點(diǎn)F，作PG∥AC交直線AD于點(diǎn)G，當(dāng)△PGF的周長最大時(shí)，在線段DE上取一點(diǎn)Q，當(dāng)PQ+ QE的值最小時(shí)，求此時(shí)PQ+ QE的值；
（3）如圖3，M是BC的中點(diǎn)，以CM為斜邊作直角△CMN，使CN∥x軸，MN∥y軸，將△CMN沿射線CB平移，記平移后的三角形為△C′M′N′，當(dāng)點(diǎn)N′落在x軸上即停止運(yùn)動(dòng)，將此時(shí)的△C′M′N′繞點(diǎn)C′逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)度數(shù)不超過180°），旋轉(zhuǎn)過程中直線M′N′與直線CA交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T，與x軸交于點(diǎn)W，請問△CST是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的WN′的長度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，則2 x2﹣33x+36 =0，

解得x= 或4 ．

∴A（ ，0），B（4 ，0），C（0，3 ），

∵CD∥AB，

∴S△DAB=S△ABC= ABOC= × × = ．

（2）解：如圖2中，設(shè)P（m， m2﹣ m+3 ）．

∵A（ ，0），D（ ，3 ），

∴直線AD的解析式為y= x﹣ ，

∵PF∥y軸，

∴F（m， m﹣ ），

∵PG⊥DE，

∴△PGF的形狀是相似的，

∴PF的值最大時(shí)，△PFG的周長最大，

∵PF= m﹣ ﹣（ m2﹣ m+3 ）=﹣ m2+ m﹣ ，

∴當(dāng)m=﹣ = 時(shí)，PF的值最大，此時(shí)P（ ，﹣ ），

作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，

∵△QEM∽△EAO，

∴ = = ，

∴QM= QE，

∴PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，

∴當(dāng)P′、Q、M共線時(shí)，PQ+ EQ的值最小，

易知直線PP′的解析式為y=﹣ x+ ，

由 ，可得G（ ， ），

∵PG=GP′，

∴P′（ ， ），

∴P′M= + = ，

∴PQ+ EQ的最小值為 ．

（3）解：①如圖3中，當(dāng)CS=CT時(shí)，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，

∵ = = = = ，

∴OK= =3 ﹣6 ，

易證∠BWN′=∠OCK，

∴tan∠BWN′=tan∠OCK= = ，

∵BN′=2 ，

∴WN′=2 +4 ．

②如圖4中，當(dāng)TC=TS時(shí)，

易證∠BWN′=∠OAC，

∴tan∠BWN′=tan∠OAC= = ，

∴WN′= ，

③如圖5中，當(dāng)TS=TC時(shí)，延長N′B交直線AC于Q，作BG⊥AQ于G，QR⊥AB于R．

∵TS=TC，

∴∠TSC=∠TCS=∠ACO，

∵∠TSC+∠SQN′=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BQA=∠OAC=∠BAQ，

∴BA=BQ，

∴AG=GQ，設(shè)AQ=a，則易知BG=a，BQ=AB= a，

∵ AQBG= ABQR，

∴QR= a，BR= a，

∴tan∠WBN′=tan∠QBR= = ，

∴WN′= ．

④如圖6中，當(dāng)CS=CT時(shí)，

由①可知，在Rt△BN′W中，tan∠N′BW= = ，

∴N′W=2 ﹣4 ．

綜上所述，滿足條件的WN′的長為2 +4 或 或 或2 ﹣4 ．

【解析】（1）令y=0，代入拋物線的解析式，求出A,B,C的坐標(biāo)，由CD∥AB，推出S△DAB=S△ABC，由此即可解決問題；
（2）首先說明PF的值最大時(shí)，△PFG的周長最大，然后說明當(dāng)當(dāng)m=- = 時(shí),PF的值最大，此時(shí)P（，），作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′Q，PQ，作EN∥x軸，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO對(duì)應(yīng)邊成比例推出QM= QE，推出PQ+ EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出P,Q,M三點(diǎn)共線時(shí)，PQ+ EQ的值最小，易知直線PP′的解析式，聯(lián)系直線AD的解析式與直線PP′的解析式求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到P′的坐標(biāo)，得到P′M的長度即可；
（3）分兩種情況討論：①如圖3中，當(dāng)CS=CT時(shí)，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G，由tan∠BWN′=tan∠OCK構(gòu)建方程即可解決問題，②如圖4中，當(dāng)TC=TS時(shí)，由tan∠BWN′=tan∠OAC構(gòu)建方程即可解決問題。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了才能正確解答此題．