【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為(2,9),與y軸交于點A(0,5),與x軸交于點E,B.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式;
(2)過點A作AC平行于x軸,交拋物線于點C,點P為拋物線上的一點(點P在AC上方),作PD平行于y軸交AB于點D,問當點P在何位置時,四邊形APCD的面積最大?并求出最大面積;
(3)若點M在拋物線上,點N在其對稱軸上,使得以A,E,N,M為頂點的四邊形是平行四邊形,且AE為其一邊,求點M,N的坐標.

【答案】
(1)解:設拋物線解析式為y=a +9,∵拋物線與y軸交于點A(0,5), ∴4a+9=5,
∴a=﹣1, y=﹣ +9=- +4x+5
(2)解:當y=0時,- +4x+5=0,∴x1=﹣1,x2=5,∴E(﹣1,0),B(5,0),
設直線AB的解析式為y=mx+n,∵A(0,5),B(5,0),∴m=﹣1,n=5,
∴直線AB的解析式為y=﹣x+5;設P(x,﹣ +4x+5), ∴D(x,﹣x+5),
∴PD=- +4x+5+x﹣5=- +5x, ∵AC=4, ∴S四邊形APCD= ×AC×PD=2(- +5x)=-2 +10x,
∴當x= 時, ∴S四邊形APCD最大= ,
(3)解:如圖,

過M作MH垂直于對稱軸,垂足為H,∵MN∥AE,MN=AE,∴△HMN≌△AOE,∴HM=OE=1,
∴M點的橫坐標為x=3或x=1,當x=1時,M點縱坐標為8,當x=3時,M點縱坐標為8,
∴M點的坐標為M1(1,8)或M2(3,8),∵A(0,5),E(﹣1,0), ∴直線AE解析式為y=5x+5,
∵MN∥AE,∴MN的解析式為y=5x+b,∵點N在拋物線對稱軸x=2上,∴N(2,10+b),
∵AE2=OA2+0E2=26 ∵MN=AE ∴MN2=AE2 , ∴MN2=(2﹣1)2+[8﹣(10+b)]2=1+(b+2)2
∵M點的坐標為M1(1,8)或M2(3,8), ∴點M1 , M2關于拋物線對稱軸x=2對稱,
∵點N在拋物線對稱軸上, ∴M1N=M2N, ∴1+(b+2)2=26, ∴b=3,或b=﹣7,
∴10+b=13或10+b=3 ∴當M點的坐標為(1,8)時,N點坐標為(2,13),
當M點的坐標為(3,8)時,N點坐標為(2,3)
【解析】(1)設出二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a ( x 2 ) 2 +9,,把點A(0,5)代入解析式,即可求出解析式;(2)最值問題可利用函數(shù)思想解決,以P橫坐標為自變量x,四邊形APCD的面積為函數(shù),構建關系式,配成頂點式,求出最大值;(3)可利用平行四邊形的性質(zhì),對邊平行且相等,即MN∥AE,MN=AE,△HMN≌△AOE,可求出MN 的解析式,利用兩點間距離公式建立方程,求出坐標.

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2)問題的解決:

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問題的延伸:

3)如圖2所示,在鈍角中,,,點是這個三角形內(nèi)一動點,請你利用以上方法,求點到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

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