Question

【題目】如圖，△ABC中，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，AE平分∠BAC交BC于點E，交CD于點F．且CE=CF．

（1）求證：直線CA是⊙O的切線；

（2）若BD=DC，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）若要證明直線CA是⊙O的切線，則只要證明∠ACB=90°即可；

（2）易證△ADF∽△ACE，由相似三角形的性質以及結合已知條件即可求出的值．

試題解析：解：（1）證明：∵BC為直徑，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°

∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直線CA是⊙O的切線；

（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴ ，∵BD=DC，∴tan∠ABC= =，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴=．