Question

某商場(chǎng)計(jì)劃采購甲、乙、丙三種型號(hào)的“格力”牌空調(diào)共25臺(tái)．三種型號(hào)的空調(diào)進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

種類 價(jià)格	甲	乙	丙
進(jìn)價(jià)（元/臺(tái)）	1600	1800	2400
售價(jià)（元/臺(tái)）	1800	2050	2600

商場(chǎng)計(jì)劃投入總資金5萬元，所購進(jìn)的甲、丙型號(hào)空調(diào)數(shù)量相同，乙型號(hào)數(shù)量不超過甲型號(hào)數(shù)量的一半．若設(shè)購買甲型號(hào)空調(diào)x臺(tái)，所有型號(hào)空調(diào)全部售出后獲得的總利潤為W元．
（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）商場(chǎng)如何采購空調(diào)才能獲得最大利潤？
（3）由于原材料上漲，商場(chǎng)決定將丙型號(hào)空調(diào)的售價(jià)提高a元（a≥100），其余型號(hào)售價(jià)不變，則商場(chǎng)又該如何采購才能獲得最大利潤？

Answer 1

解：（1）設(shè)購買甲型號(hào)空調(diào)x臺(tái)，可得丙型空調(diào)為x臺(tái)，乙型空調(diào)（25-2x）臺(tái)，
則W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600-2400）x=6250-100x；
（2）由題意得：0≤25-2x≤x，
解得：10≤x≤12.5，
又∵x為正整數(shù)，得到x=10，11，12，
∵W=6250-100x，
∴k=-100＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=10時(shí)，W有最大值5250元．
∴商場(chǎng)采購甲型號(hào)空調(diào)10臺(tái)，乙型空調(diào)5臺(tái)，丙型空調(diào)為10臺(tái)利潤最大；
（3）根據(jù)題意，得
W=（1800-1600）x+（2050-1800）（25-2x）+（2600+a-2400）x
=（a-100）x+6250．
∵a≥100，
∴a-100≥0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=12時(shí)，W最大．
故商場(chǎng)采購甲型號(hào)空調(diào)12臺(tái)，乙型空調(diào)1臺(tái)，丙型空調(diào)為12臺(tái)利潤最大；
分析：（1）設(shè)購買甲型號(hào)空調(diào)x臺(tái)，可得丙型空調(diào)為x臺(tái)，乙型空調(diào)（25-2x）臺(tái)，再表示出三種空調(diào)各自的利潤，最后將三種空調(diào)的利潤加起來就是W．
（2）先根據(jù)條件求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）的解析式圖象特征確定x的值，就可以確定最大利潤．
（3）把丙型空調(diào)提高后的售價(jià)代入（1）的解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)特征求出購買方案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用一次函數(shù)的解析式和性質(zhì)求函數(shù)的最值，在解答中注意自變量的取值范圍和k值的靈活運(yùn)用．