Question

某商場(chǎng)計(jì)劃采購(gòu)甲、乙、丙三種型號(hào)的“格力”牌空調(diào)共25臺(tái)．三種型號(hào)的空調(diào)進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

種類(lèi) 價(jià)格	甲	乙	丙
進(jìn)價(jià)（元/臺(tái)）	1600	1800	2400
售價(jià)（元/臺(tái)）	1800	2050	2600

商場(chǎng)計(jì)劃投入總資金5萬(wàn)元，所購(gòu)進(jìn)的甲、丙型號(hào)空調(diào)數(shù)量相同，乙型號(hào)數(shù)量不超過(guò)甲型號(hào)數(shù)量的一半．若設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲型號(hào)空調(diào)x臺(tái)，所有型號(hào)空調(diào)全部售出后獲得的總利潤(rùn)為W元．
（1）求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式．
（2）商場(chǎng)如何采購(gòu)空調(diào)才能獲得最大利潤(rùn)？
（3）由于原材料上漲，商場(chǎng)決定將丙型號(hào)空調(diào)的售價(jià)提高a元（a≥100），其余型號(hào)售價(jià)不變，則商場(chǎng)又該如何采購(gòu)才能獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

（1）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲型號(hào)空調(diào)x臺(tái)，可得丙型空調(diào)為x臺(tái)，乙型空調(diào)（25-2x）臺(tái)，
則W=x+（25-2x）+x=6250-100x；
（2）由題意得：0≤25-2x≤

1

2

x，
解得：10≤x≤12.5，
又∵x為正整數(shù)，得到x=10，11，12，
∵W=6250-100x，
∴k=-100＜0，
∴W隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=10時(shí)，W有最大值5250元．
∴商場(chǎng)采購(gòu)甲型號(hào)空調(diào)10臺(tái)，乙型空調(diào)5臺(tái)，丙型空調(diào)為10臺(tái)利潤(rùn)最大；
（3）根據(jù)題意，得
W=x+（25-2x）+（2600+a-2400）x
=（a-100）x+6250．
∵a≥100，
∴a-100≥0，
∴W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=12時(shí)，W最大．
故商場(chǎng)采購(gòu)甲型號(hào)空調(diào)12臺(tái)，乙型空調(diào)1臺(tái)，丙型空調(diào)為12臺(tái)利潤(rùn)最大；