Question

7．在直角三角形ABC中，BC=6cm，AC=8cm，點D在線段AC上從C向A運動．若設(shè)CD=x（m），△ABD的面積為因變量y．
（1）請寫出y與x的關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時，y有最大值，最大值是多少？此時點D在什么位置？
（3）當(dāng)△ABD的面積是△ABC的面積的四分之一時，點D在什么位置？
（4）若有兩個動點同時從C點出發(fā)，一個沿著CA方向，以1.5cm/秒到達F點，另一個沿著CB方向，以2cm/秒到達E點（E點可能在CB的延長線上）．請問構(gòu)成的△ECF有沒有可能與△ACB全等？如果有可能，請你說明理由；如果不可能，也請說明原因．

Answer 1

分析 （1）△ABD的面積=$\frac{1}{2}$AD×BC，把相關(guān)數(shù)值代入化簡即可；
（2）由（1）可得x最小時，y最大，易得此時點D的位置；
（3）讓（1）中的y為10列式求值即可；
（4）設(shè)BE=2t，CF=1.5t，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AC=BE，BC=CF，解方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)CD=x，△ABD的面積為y．
則y=$\frac{1}{2}$AD×BC=$\frac{1}{2}$×（8-x）×6=-3x+24；

（2）當(dāng)x=0時，y有最大值，最大值是24，
此時點D與點C重合；

（3）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24
∴當(dāng)y=$\frac{1}{2}$S_△ABC時，即y=-3x+24=6時，x=6，
即CD=6，此時點D在AC的三等分點處，距離點D6cm；

（4）有可能，
設(shè)BE=2t，CF=1.5t，
∵△ACB≌△ECF，
∴AC=BE，BC=CF，
∴2t=8，1.5t=6，
解得：t=4，
∴兩個動點運動4秒時，△ECF≌△ACB．

點評 此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積和一次函數(shù)的應(yīng)用；判斷出所求三角形的底邊及底邊上的高是解決本題的突破點．