【題目】如下圖。
(1)問(wèn)題 如圖1,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),∠DPC=∠A=∠B=90°.求證:
(2)探究 如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P為AB上一點(diǎn),當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí),上述結(jié)論是否依然成立?說(shuō)明理由.
(3)應(yīng)用 請(qǐng)利用(1)(2)獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題
如圖3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度,由點(diǎn)A出發(fā),沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),且滿足∠CPD=∠A.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),當(dāng)以D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切時(shí),求t的值.

【答案】
(1)證明:如圖1,

∵∠DPC=∠A=∠B=90°,

∴∠ADP+∠APD=90°,

∠BPC+∠APD=90°,

∴∠ADP=∠BPC,

∴△ADP∽△BPC,


(2)解:結(jié)論 仍然成立.

理由:如圖2,

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.

∵∠DPC=∠A=∠B=θ,

∴∠BPC=∠ADP,

∴△ADP∽△BPC,


(3)解:如圖3,

過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.

∵AD=BD=5,AB=6,

∴AE=BE=3.

由勾股定理可得DE=4.

∵以點(diǎn)D為圓心,DC為半徑的圓與AB相切,

∴DC=DE=4,

∴BC=5﹣4=1.

又∵AD=BD,

∴∠A=∠B,

∴∠DPC=∠A=∠B.

∵AD=BD,

∴∠A=∠B,

∵∠BPD=∠A+∠ADP=∠DPC+∠BPC,∠DPC=∠A,

∴∠ADP=∠BPC,

∴△APD∽△BCP,

,

∴ADBC=APBP;

∴5×1=t(6﹣t),

解得:t1=1,t2=5,

∴t的值為1秒或5秒


【解析】(1)如圖1,由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;(2)如圖2,由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可證到△ADP∽△BPC,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題;(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE=BE=3,根據(jù)勾股定理可得DE=4,由題可得DC=DE=4,則有BC=5﹣4=1.易證∠DPC=∠A=∠B.根據(jù)ADBC=APBP,就可求出t的值.

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溫度t/℃

﹣4

﹣2

0

1

4

植物高度增長(zhǎng)量l/mm

41

49

49

46

25

科學(xué)家經(jīng)過(guò)猜想、推測(cè)出l與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測(cè)最適合這種植物生長(zhǎng)的溫度為℃.

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(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)若點(diǎn)C為OA的中點(diǎn),求BC的長(zhǎng);
(3)以BC,BE為邊構(gòu)造矩形BCDE,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),求出m,n之間的關(guān)系式.
(4)將射線OA繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°并與拋物線交于點(diǎn)P,求出P點(diǎn)坐標(biāo).

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(1)按要求填空:

你認(rèn)為圖中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于   

請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖中陰影部分的面積:

方法1:   

方法2:   

觀察圖,請(qǐng)寫(xiě)出代數(shù)式(m+n)2,(m﹣n)2,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系:   

(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系,解決如下問(wèn)題:若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.

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A. 1 B. 13 C. 17 D. 37

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