Question

【題目】如圖，已知中， ， ， ，D是AB邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作交BC邊于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求EF的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AC邊上移動(dòng)時(shí)， 的正切值是否會(huì)發(fā)生變化，如果變化請(qǐng)說(shuō)出變化情況；如果保持不變，請(qǐng)求出的正切值；

（3）如圖3，聯(lián)結(jié)CD交EF于點(diǎn)Q，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不變；（3）或3或.

【解析】試題分析：（1）由已知條件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；

（2）過(guò)點(diǎn)作， ，垂足分別為點(diǎn)、，由（1）可得DH=3，DG=4；再證，即可得出結(jié)論；

（3）分三種情況討論即可.

（1）∵，

∴

∵

∴

∵是邊的中點(diǎn)

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵在中，

∴

∵

∴

又∵

∴四邊形是矩形

∴

∵在中，

∴

（2）不變

過(guò)點(diǎn)作， ，垂足分別為點(diǎn)、

由（1）可得，

∵，

∴

又∵，

∴四邊形是矩形

∴

∵

∴ 即

又∵

∴

∴

∵

∴

（3）1° 當(dāng)時(shí)，易證，即

又∵，D是AB的中點(diǎn)

∴

∴

2° 當(dāng)時(shí)，易證

∵在中，

∴設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，易證，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴

3° 在BC邊上截取BK=BD=5，由勾股定理得出

當(dāng)時(shí)，易證

∴設(shè)，則，

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴ 解得

∴

∴