Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G．

（1）猜想線段GF與GC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）若AB=3，AD=4，求線段GC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：GF=GC．

理由如下：連接GE，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=EC，

∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，

∴BE=EF，

∴EF=EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C=90°，

∴∠EFG=90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF=GC；

（2）解：設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3﹣x，

在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，

解得x= ．

【解析】（1） GF=GC，理由如下：連接GE， 由中點(diǎn)定義折疊的性質(zhì)得出EF=EC，由矩形的性質(zhì)得出∠C=90°，∠EFG=90°，從而利用HL證出Rt△GFE≌Rt△GCE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論；
（2）設(shè)GC=x，則AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中根據(jù)勾股定理列出方程求解即可。