Question

5．（1）如圖1，PD∥BC，PE∥CF，若BC=CF，求證：PD=PE．
（2）如圖2，銳角三角形ABC中，D為BC上一點(diǎn)，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB于F，G為AC上一點(diǎn)，P為DG上一點(diǎn)，PH⊥AC于H，PM∥DF交FG于M，且DE=DF，過P作PQ⊥BC于Q，延長PM交AB于I，若PH+PQ=PI．
①求證：G在∠ABC的平分線上；
②若PI=10，P到HQ的距離為2，則PC的最大值為$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由PD∥BC，PE∥CF，推出$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$，$\frac{PE}{CF}$=$\frac{PA}{AC}$，得到$\frac{PD}{BC}$=$\frac{PE}{CF}$，由此即可證明．
（2）①證明：如圖2中，作GN⊥AB于N，GK⊥BC于K，只要證明GN=GK即可解決問題．
②如圖3中，作PK⊥HQ于K，設(shè)PH=x，PQ=y，則x+y=10，由△PCH∽△PQK，推出$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{PH}{PK}$，得$\frac{PC}{y}$=$\frac{x}{2}$，即PC=$\frac{1}{2}$xy，根據(jù)兩個(gè)變量和為定值，相等時(shí)積最大，即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵PD∥BC，PE∥CF，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$，$\frac{PE}{CF}$=$\frac{PA}{AC}$，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{PE}{CF}$，
∵BC=CF，
∴PD=PE．

（2）①證明：如圖2中，作GN⊥AB于N，GK⊥BC于K．

由（1）可知PH=PM，
∵PI=PH+PQ，
∴MI=PQ，
∵M(jìn)I⊥AB，GN⊥AB，
∴MI∥GN，
∴$\frac{MI}{GN}$=$\frac{FI}{FN}$，
∵GK⊥BC．PQ⊥BC，
∴PQ∥GK，
∴$\frac{PQ}{GK}$=$\frac{DP}{DG}$，
∵DF∥PI∥GN，
∴$\frac{DP}{DG}$=$\frac{IF}{FN}$，
∴$\frac{MI}{GN}$=$\frac{PQ}{GK}$，
∴GN=GK，
∵GN⊥AB，GK⊥BC，
∴點(diǎn)G在∠ABC的平分線上．
②如圖3中，作PK⊥HQ于K，設(shè)PH=x，PQ=y，則x+y=10，

∵∠PHC+∠PQC=180°，
∴P、Q、C、H四點(diǎn)共圓，
∴∠PCH=∠PQK，
∵∠PHC=∠PKQ=90°，
∴△PCH∽△PQK，
∴$\frac{PC}{PQ}$=$\frac{PH}{PK}$，
∴$\frac{PC}{y}$=$\frac{x}{2}$，
∴PC=$\frac{1}{2}$xy，
∵x+y=10，
∴x=y=5時(shí)，xy最大值為25，
∴PC的最大值為$\frac{25}{2}$．
故答案為$\frac{25}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)變量和定值，相等時(shí)積最大，屬于中考?jí)狠S題．