Question

●計(jì)算
當(dāng)a=6，b=4時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

 

．
當(dāng)a=5，b=5時(shí)，

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是

 

．
●探究
如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，點(diǎn)C為圓O上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)C作CD⊥AB于D，設(shè)AD=a，BD=b．
①則線段OC=

 

，OD=

 

（分別用a，b表示）；
②則OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系是

 

（用含a，b的式子表示）．
●歸納
根據(jù)上面的觀察、探究，則

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系是：

 

．
●應(yīng)用
要制作面積為1平方米的長(zhǎng)方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：計(jì)算：把a(bǔ)和b的值代入計(jì)算即可得到

a+b

2

與

ab

的大小關(guān)系；
探究：易得OC=

a+b

2

，再通過(guò)證明△ACD∽△CBD，利用相似比得CD=

ab

，根據(jù)直角邊與斜邊的關(guān)系得OC≥CD（當(dāng)C點(diǎn)為半圓AB的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），所以

a+b

2

≥

ab

；
歸納：利用上面的計(jì)算和證明的結(jié)果可推出

a+b

2

≥

ab

（a=b時(shí)取等號(hào)）；
應(yīng)用：設(shè)長(zhǎng)方形的兩邊分別為a、b，則ab=1，利用

a+b

2

≥

ab

得

a+b

2

≥1，即a+b≥1，所以2（a+b）≥2，于是可得鏡框周長(zhǎng)的最小值．

解答：解：計(jì)算：
當(dāng)a=6，b=4時(shí)，

a+b

2

=5，

ab

=

24

，由于

25

＞

24

，則

a+b

2

＞

ab

；
當(dāng)a=5，b=5時(shí)，

a+b

2

=5，

ab

=

25

=5，所以

a+b

2

=

ab

；
探究：
∵AB為直徑，AB=AD+BD=a+b，
∴∠ACD=90°，OC=

a+b

2

，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD=∠CDB，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴

CD

BD

=

AD

CD

，即

CD

b

=

a

CD

，
∴CD=

ab

，
∵OC≥CD（當(dāng)C點(diǎn)為半圓AB的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），
∴

a+b

2

≥

ab

；
歸納：
通過(guò)代數(shù)計(jì)算和幾何證明可得

a+b

2

≥

ab

；
應(yīng)用：
設(shè)長(zhǎng)方形的兩邊分別為a、b，則ab=1，
∵

a+b

2

≥

ab

，
∴

a+b

2

≥1，即a+b≥1，
∴2（a+b）≥2，
∴鏡框周長(zhǎng)的最小值為2．
故答案為

a+b

2

＞

ab

，

a+b

2

，

ab

，

a+b

2

=

ab

；

a+b

2

≥

ab

；

a+b

2

≥

ab

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；體會(huì)由于幾何的方法比較代數(shù)式的大�。�