【題目】若點(diǎn)P為△ABC所在平面上一點(diǎn),且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,則點(diǎn)P叫做△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).當(dāng)三角形的最大角小于120°時,可以證明費(fèi)馬點(diǎn)就是“到三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)“.即PA+PB+PC最小.
(1)如圖1,向△ABC外作等邊三角形△ABD,△AEC.連接BE,DC相交于點(diǎn)P,連接AP.
①證明:點(diǎn)P就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn);
②證明:PA+PB+PC=BE=DC;
(2)如圖2,在△MNG中,MN=4,∠M=75°,MG=3.點(diǎn)O是△MNG內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)O到△MNG三個頂點(diǎn)的距離和的最小值是 .
【答案】(1)①證詳見解析;②詳見解析;(2).
【解析】
(1)①如圖1﹣1中,作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N設(shè)AB交 CD于O.證明△ADC≌△ABE(SAS)即可解決問題.
②在線段PDA上取一點(diǎn)T,使得PA=PT,連接AT.證明△DAT≌△BAP(SAS),推出PD=PA+PB即可解決問題.
(2)以MG為邊作等邊三角形△MGD,以OM為邊作等邊△OME.連接ND,可證△GMO≌△DME,可得GO=DE,則MO+NO+GO=NO+OE+DE,即當(dāng)D、E、O、N四點(diǎn)共線時,MO+NO+GO值最小,最小值為ND的長度,根據(jù)勾股定理先求得MF、DF,然后求ND的長度,即可求MO+NO+GO的最小值.
(1)①如圖1﹣1中,作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N設(shè)AB交 CD于O.
∵△ADB,△ACE都是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAB=∠BAE,
∴△ADC≌△ABE(SAS),
∴CD=BE,S△DAC=S△ABE,∠ADC=∠ABE,
∵AM⊥CD,AN⊥BE,
∴CDAM=BEAN,
∴AM=AN,
∴∠APM=∠APN,
∵∠AOD=∠POB,
∴∠OPB=∠DAO=60°,
∴∠APN=∠APM=60°,
∴∠APC=∠BPC=∠APC=120°,
∴點(diǎn)P是就是△ABC費(fèi)馬點(diǎn).
②在線段PDA上取一點(diǎn)T,使得PA=PT,連接AT.
∵∠APT=60°,PT=PA,
∴△APT是等邊三角形,
∴∠PAT=60°,AT=AP,
∵∠DAB=∠TAP=60°,
∴∠DAT=∠BAP,∵AD=AB,
∴△DAT≌△BAP(SAS),
∴PB=DT,
∴PD=DT+PT=PA+PB,
∴PA+PB+PC=PD+PC=CD=BE.
(2)如圖2:以MG為邊作等邊三角形△MGD,以OM為邊作等邊△OME.連接ND,作DF⊥NM,交NM的延長線于F.
∵△MGD和△OME是等邊三角形
∴OE=OM=ME,∠DMG=∠OME=60°,MG=MD,
∴∠GMO=∠DME
在△GMO和△DME中,
,
∴△GMO≌△DME(
∴OG=DE
∴NO+GO+MO=DE+OE+NO
∴當(dāng)D、E、O、M四點(diǎn)共線時,NO+GO+MO值最小,
∵∠NMG=75°,∠GMD=60°,
∴∠NMD=135°,
∴∠DMF=45°,
∵MG=3
∴MF=DF=,
∴NF=MN+MF=4=,
∴ND===,
∴MO+NO+GO最小值為,
故答案為,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=﹣x+1與函數(shù)y的圖象交于A(﹣2,a),B兩點(diǎn).
(1)求a,k的值;
(2)已知點(diǎn)P(0,m),過點(diǎn)P作平行于x軸的直線l,交函數(shù)y的圖象于點(diǎn)C(x1,y1),交直線y=﹣x+1的圖象于點(diǎn)D(x2,y2),若|x1|>|x2|,結(jié)合函數(shù)圖象,直接寫出m的取值范圍.
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【題目】已知:如圖,正方形為邊上一點(diǎn),繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到.
如果,求的度數(shù);
與的位置關(guān)系如何?說明理由.
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【題目】如圖,是的直徑,是上半圓的弦,過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn),過點(diǎn)作切線的垂線,垂足為,且與交于點(diǎn),設(shè),的度數(shù)分別是.
用含的代數(shù)式表示,并直接寫出的取值范圍;
連接與交于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時,求的值.
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【題目】拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)、B(5,0)兩點(diǎn),則關(guān)于x的一元二次方程a(x﹣1)2=b﹣bx的解是_____.
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【題目】某幾何體的三視圖如圖所示,已知在△EFG中,FG=18cm,EG=12cm,∠EGF=30°;在矩形ABCD中,AD=16cm.
(1)請根據(jù)三視圖說明這個幾何體的形狀.
(2)請你求出AB的長;
(3)求出該幾何體的體積.
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【題目】垃圾分類是必須要落實(shí)的國家政策,環(huán)衛(wèi)部門要求垃圾要按可回收物,有害垃圾,餐廚垃圾,其它垃圾四類分別裝袋,投放.甲投放了一袋垃圾,乙投放了兩袋垃圾(兩袋垃圾不同類).
(1)直接寫出甲投放的垃圾恰好是類垃圾的概率;
(2)用樹狀圖求乙投放的垃圾恰有一袋與甲投放的垃圾是同類的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】文明交流互鑒是推動人類文明進(jìn)步和世界和平發(fā)展的重要動力.2019年5月“ 亞洲文明對話大會”在北京成功舉辦,引起了世界人民的極大關(guān)注.某市一研究機(jī)構(gòu)為了了解10~60歲年齡段市民對本次大會的關(guān)注程度,隨機(jī)選取了100名年齡在該范圍內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查,并將收集到的數(shù)據(jù)制成了尚不完整的頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖,如下所示:
(1)請直接寫出_______,_______,第3組人數(shù)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所對應(yīng)的圓心角是_______度.
(2)請補(bǔ)全上面的頻數(shù)分布直方圖.
(3)假設(shè)該市現(xiàn)有10~60歲的市民300萬人,問40~50歲年齡段的關(guān)注本次大會的人數(shù)約有多少?
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【題目】“不出城郭而獲山水之怡,身居鬧市而有林泉之致”,合肥市某區(qū)不斷推進(jìn)“園林城市”建設(shè),今春種植了四類花苗,園林部門從種植的這批花苗中隨機(jī)抽取了2000株,將四類花苗的種植株數(shù)繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖,將四類花苗的成活株數(shù)繪制成條形統(tǒng)圖.經(jīng)統(tǒng)計(jì)這批2000株的花苗總成活率為90%,其中玉蘭和月季的成活率較高,根據(jù)圖表中的信息解答下列問題:
(1)扇形統(tǒng)計(jì)圖中玉蘭所對的圓心角為 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)該區(qū)今年共種植月季8000株,成活了約 株;
(3)園林部門決定明年從這四類花苗中選兩類種植,請用列表法或畫樹狀圖求恰好選到成活率較高的兩類花苗的概率.
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