Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，O是AB上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O經(jīng)過點D．

（1）求證：BC是⊙O切線；

（2）若BD=5，DC=3，求AC的長．

　

Answer 1

【考點】切線的判定．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可．

（2）過點D作DE⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知CD=DE=3，由勾股定理得到BE的長，再通過證明△BDE∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AC的長．

【解答】（1）證明：連接OD；

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠1=∠3．（1分）

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∴∠2=∠3．

∴∥AC．（2分）

∴∠ODB=∠ACB=90°．

∴OD⊥BC．

∴BC是⊙O切線．（3分）

（2）解：過點D作DE⊥AB，

∵AD是∠BAC的平分線，

∴CD=DE=3．

在Rt△BDE中，∠BED=90°，

由勾股定理得：，（4分）

∵∠BED=∠ACB=90°，∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC．（5分）

∴．

∴．

∴AC=6．（6分）

【點評】本題綜合性較強，既考查了切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理得到BE的長，及相似三角形的性質(zhì)．