Question

如圖是一個(gè)用來(lái)盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開(kāi)口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為10cm．在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)�，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，則此螞蟻爬行的最短距離　　　　　　cm．

　

Answer 1

　2　cm．

【考點(diǎn)】平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題；圓錐的計(jì)算．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．

【解答】解：因?yàn)镺E=OF=EF=10（cm），

所以底面周長(zhǎng)=10π（cm），

將圓錐側(cè)面沿OF剪開(kāi)展平得一扇形，此扇形的半徑OE=10（cm），弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)10π（cm）

設(shè)扇形圓心角度數(shù)為n，則根據(jù)弧長(zhǎng)公式得：

10π=，

所以n=180°，

即展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

因?yàn)镋點(diǎn)是展開(kāi)圖弧的中點(diǎn)，

所以∠EOF=90°，

連接EA，則EA就是螞蟻爬行的最短距離，

在Rt△AOE中由勾股定理得，

EA²=OE²+OA²=100+64=164，

所以EA=2（cm），

即螞蟻爬行的最短距離是2（cm）．

【點(diǎn)評(píng)】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．