Question

16．如圖，△OAB的一邊OB在x軸的正半軸上，點A的坐標(biāo)為（6，8），OA=OB，點P在線段OB上，點Q在y軸的正半軸上，OP=2OQ，過點Q作x軸的平行線分別交OA，AB于點E，F(xiàn)．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若四邊形POEF是平行四邊形，求點P的坐標(biāo)；
（3）是否存在點P，使△PEF為直角三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A坐標(biāo)確定出OA的長，即為OB的長，確定出B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB解析式即可；
（2）由A坐標(biāo)確定出直線OA解析式，設(shè)OQ=t，則有OP=2t，表示出E與F坐標(biāo)，進而表示出EF長，由四邊形POEF為平行四邊形，得到EF=OP，求出t的值，即可確定出P坐標(biāo)；
（3）分三種情況考慮：若∠PEF=90°；若∠PFE=90°；若∠EPF=90°，過E、F分別作x軸垂線，垂足分別為G、H，分別求出t的值，確定出滿足題意P坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）∵A（6，8），∴OA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴OB=OA=10，即B（10，0），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=8}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=20．
則直線AB解析式為y=-2x+20，；
（2）由A（6，8），得到直線OA解析式為y=$\frac{4}{3}$x，
設(shè)OQ=t，則有OP=2OQ=2t，
把y=t代入y=$\frac{4}{3}$x得：x=$\frac{3}{4}$t；代入y=-2x+20得：x=10-$\frac{1}{2}$t，
∴E（$\frac{3}{4}$t，t），F(xiàn)（10-$\frac{1}{2}$t，t），
∴EF=10-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$t=10-$\frac{5}{4}$t，
若四邊形POEF為平行四邊形，則有EF=OP，即10-$\frac{5}{4}$t=2t，
解得：t=$\frac{40}{13}$；
（3）分三種情況考慮：
若∠PEF=90°，則有$\frac{3}{4}$t=2t，無解，不可能；
若∠PFE=90°，則有10-$\frac{t}{2}$=2t，解得：t=4，此時OP=8，即P（8，0）；
若∠EPF=90°，過E、F分別作x軸垂線，垂足分別為G、H，

∴Rt△EGP∽Rt△PHF，
∴$\frac{EG}{GP}$=$\frac{PH}{HF}$，即$\frac{t}{2t-\frac{3}{4}t}$=$\frac{10-\frac{1}{2}t-2t}{t}$，
解得：t=$\frac{100}{33}$，此時P=$\frac{200}{33}$，即P（$\frac{200}{33}$，0）．
綜上，P的坐標(biāo)為（8，0）或（$\frac{200}{33}$，0）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．