Question

12．如圖，等邊△ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點(diǎn)，且總有AD=BE，AE與CD交于點(diǎn)F，AG⊥CD于點(diǎn)G．
（1）在點(diǎn)D、E運(yùn)動的過程中，∠AFD的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出∠AFD的度數(shù)；若變化，請說明理由；
（2）在點(diǎn)D、E運(yùn)動的過程中，線段FG與AF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠CAD=∠B=60°，AB=AC，進(jìn)而利用全等三角形的判定得出△ACD≌△ABE，即可利用外角性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）利用（1）中所求以及利用在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半得出即可．

解答 解：（1）不變，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠CAD=∠B=60°，AB=AC，
在△ACD和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAD=∠B}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠ACD=∠BAE，
∴∠AFD=∠ACD+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠CAD=60°；

（2）AF=2FG，
理由：∵AG⊥CD，
∵∠AFD=60°，
∴∠FAG=30°，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，
即AF=2FG．

點(diǎn)評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識，熟練利用全等三角形的判定得出△ABE≌△CAD是解題關(guān)鍵．