Question

1．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，M為AC的中點(diǎn)，N為BM中點(diǎn)，AN延長(zhǎng)線交BC于P，過(guò)P作PQ∥AB交BM于Q．求證：
（1）△AQM∽△CPA；
（2）AQ=$\frac{1}{2}$PC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件得到AN=NM，根據(jù)等腰三角形的判定得到∠AMB=∠MAN，通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到AD=BM，推出四邊形ABDM是矩形，由于PQ∥AB，得到四邊形ABPQ是等腰梯形，得到∠QAN=∠PBN，根據(jù)外角的性質(zhì)得到∠AQM=∠APC，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）作ME∥BC交AP于E，由M為AC的中點(diǎn)，得到E我AP的中點(diǎn)，推出EM為△APC的中位線，得到EM=$\frac{1}{2}$PC，通過(guò)全等三角形的性質(zhì)得到EM=BP，求得BP=$\frac{1}{2}$PC等量代換得到結(jié)論．

解答 證明：（1）∵∠BAC=90°，N為BM的中點(diǎn)，
∴AN=NM，
∴∠AMB=∠MAN，
延長(zhǎng)AP到D使ND=AN，連接MD，BD，
在△ABN與△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=DN}\\{∠ANB=∠MND}\\{BN=MN}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△MDN，
∴AD=BM，
∵∠BAC=90°，NA=NB=ND=NM，
∴四邊形ABDM是矩形，
∵PQ∥AB，∴四邊形ABPQ是等腰梯形，
∴∠QAN=∠PBN，∵∠AQM=∠QAN+∠1，∠APC=∠2+∠PBN，
∴∠AQM=∠APC，∵∠AMB=∠MAN，
∴△AQM∽△CPA；

（2）作ME∥BC交AP于E，
∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，
∴E是AP的中點(diǎn)，
∴EM為△APC的中位線，
∴EM=$\frac{1}{2}$PC，
∵EM∥BC，
∴∠3=∠4，
在△EMN與△PBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠1=∠2}\\{BN=NM}\end{array}\right.$，
∴△EMN≌△PBN，
∴EM=BP，
∴BP=$\frac{1}{2}$PC，
∵∠BAC=90°，N是BM的中點(diǎn)，
∴AM=BN，
∴∠BAN=∠ABN，
∵PQ∥AB，
∴∠NPQ=∠NQP，
∴NQ=BP，
∴AQ=$\frac{1}{2}$PC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．