Question

【題目】如圖，點(diǎn)O在線段AB上，（不與端點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，線段BP與這條弧相切與點(diǎn)P，直線CD垂直平分PB，交PB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，在射線DC上截取DE，使DE＝DB。已知AB＝6，設(shè)OA＝r。

（1）求證：OP∥ED；

（2）當(dāng)∠ABP＝30°時(shí)，求扇形AOP的面積，并證明四邊形PDBE是菱形；

（3）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥DE于點(diǎn)F，如圖所示，線段EF的長(zhǎng)度是否隨r的變化而變化？若不變，直接寫(xiě)出EF的值；若變化，直接寫(xiě)出EF與r的關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） ，見(jiàn)解析；（3）EF＝3

【解析】試題分析：根據(jù)BP為的切線，得到，，可以推出

，進(jìn)而證明平行.

根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，列出方程，求出半徑，根據(jù)扇形的面積公式進(jìn)行即可即可.根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明.

根據(jù)題意可知，OP∥ED；點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，可以用表示出， 即可求出的長(zhǎng).

試題解析：

（1）∵BP為的切線

，

∵，

∴,

∴OP∥ED；

（2）在Rt△OBP中，

∴

在Rt△OBP中，

即

解得：

S扇形AOP=,

證明：∵

∴

∵

∴是等邊三角形

又∵

∴

∴DE與PB互相垂直平分，

∴四邊形PDBE是菱形.

（3）線段EF的長(zhǎng)度是不會(huì)隨r的變化而變化，

根據(jù)題意可知，OP∥ED；點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，

線段EF的長(zhǎng)度是不會(huì)隨r的變化而變化，