Question

【題目】如圖，.

（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，以為頂點(diǎn)，為腰在第三象限作等腰，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖②，為軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為頂點(diǎn)，為腰作等腰，過作軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，試問的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖③，已知點(diǎn)坐標(biāo)為，是軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，以為直角邊作等腰，點(diǎn)在軸上，，設(shè)、，當(dāng)點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的和是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）OP-DE的值不變，值為2；（3）m+n的和不變，值為-8．

【解析】

（1）作CD⊥x軸于D，證明△ACD≌△BAO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DC=OA=2，AD=OB=4，計(jì)算即可；
（2）作DF⊥y軸于F，證明△APO≌△DPF，得到PF=OA=2，DF=OP，結(jié)合圖形計(jì)算；
（3）作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，仿照（2）的證明過程解答．

解：（1）作CD⊥x軸于D，

∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∴∠BAO=∠ACD，
在△ACD和△BAO中，

，
∴△ACD≌△BAO，
∴DC=OA=2，AD=OB=4，
∴OD=6，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，-2）；

（2）OP-DE的值不變，值為2，
理由如下：作DF⊥y軸于F，
∴∠PDF+∠DPF=90°，
∵∠APD=90°，
∴∠APO+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△APO和△DPF中，

，
∴△APO≌△DPF，
∴PF=OA=2，DF=OP，
∴OP-DE=OP-OF=PF=2；

（3）m+n的和不變，值為-8，
理由如下：作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，
由（2）可知，△HNF≌△GNF，
∴GN=MH，FN=FM=OM=4，
m+n=-（OG-OH）=-（GN+ON-MH+OM）=-（ON+OM）=-8．

故答案為：（1）C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-6，-2）；（2）OP-DE的值不變，值為2；（3）m+n的和不變，值為-8．