Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2，∠A=60°，以AB為直徑的⊙O過點D，點M是BC邊上一點（點M不與B，C重合），過點M作BC的垂線MN，交CD邊于點N．

（1）求AD的長；

（2）當點N在⊙O上時，求證：直線MN是⊙O的切線；

（3）以CN為直徑作⊙P，設(shè)BM=x，⊙P的直徑為y，

①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

②當BM為何值時，⊙P與⊙O相切．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）①y=2﹣2x（0＜x＜1）；②BM為1時，⊙P與⊙O相切．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，由題意證出△AOD是等邊三角形，得出AD=OA=1即可；

（2）連接ON，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，證出△DON是等邊三角形，得出∠DNO=60°，求出∠CNM=30°，因此∠ONM=90°即可；

（3）①由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出CN=2CM，即可得出結(jié)果；

②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，則∠BCN=30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BN=BC=，得出PE=CN=，由相切兩圓的圓心距=兩圓半徑之和，得出OP=OB+PC=2﹣x，因此OE=OB+BN﹣EN=+x，由勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）解：連接OD，如圖1所示：

根據(jù)題意得：OA=OB=1，

∵OA=OD，∠A=60°，

∴△AOD是等邊三角形，

∴AD=OA=1，∠AOD=60°；

（2）證明：連接ON，如圖2所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，BC=AD=1，∠C=∠A=60°，

∴∠ODN=∠AOD=60°，

∵OD=ON，

∴△DON是等邊三角形，

∴∠DNO=60°，

∵MN⊥BC，

∴∠CNM=90°﹣60°=30°，

∴∠ONM=180°﹣30°﹣60°=90°，

即MN⊥ON，

∴直線MN是⊙O的切線；

（3）解：①∵∠CNM=30°，MN⊥BC，

∴CN=2CM，即y=2（1﹣x），

∴y=2﹣2x，

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=2﹣2x（0＜x＜1）；

②作PE⊥AB于E，CN⊥AB于N，如圖3所示：

則∠BCN=30°，

∴BN=BC=，PE=CN=，

∵⊙P與⊙O相切，

∴OP=OB+PC=1+1﹣x=2﹣x，OE=OB+BN﹣EN=1+﹣（1﹣x）=+x，

由勾股定理得：OE2+PE2=OP2，

即（+x）2+（）2=（2﹣x）2，

解得：x=1，

即BM為1時，⊙P與⊙O相切．