Question

已知Rt△OAB在直角坐標系中的位置如圖所示，點P（3，4）為OB的中點，點C為折線OAB上的動點，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，若分割得到的三角形與Rt△OAB相似，則點C的坐標為

（3，0）或（6，4）或（6，

7

4

）

．

Answer 1

分析：根據平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA時，分割得到的三角形與Rt△OAB相似，根據網格結構寫出此時點C的坐標即可；又當PC⊥OB時，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據網格結構，利用勾股定理求出OB的長度，然后根據相似三角形對應邊成比例列式求出分割得到的三角形的斜邊的長度，然后判定點C在AB上，再求出AC的長度，從而得到此時點C的坐標．

解答：解：如圖，①PC∥AB時，△OCP∽△OAB，此時點C的坐標為（3，0）；
②PC∥OA時，△PCB∽△OAB，此時點C的坐標為（6，4）；
③PC⊥OB時，設分割得到的三角形的斜邊的長為x，
根據勾股定理得，OB=10，
∵P（3，4）為OB的中點，
∴PB=OB=5，
∴

x

10

=

5

8

，
解得x=

25

4

，
∵

25

4

＞6，
∴點C在邊AB上，
∴AC=8-

25

4

=

7

4

，
此時，點C的坐標為（6，

7

4

）；
綜上所述，點C的坐標為（3，0）或（6，4）或（6，

7

4

）．
故答案為：（3，0）或（6，4）或（6，

7

4

）．

點評：本題考查了相似三角形的性質，坐標與圖形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵，主要要分情況討論求解．