Question

已知Rt△OAB在直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)P（3，4）為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為折線OAB上的動(dòng)點(diǎn)，線段PC把Rt△OAB分割成兩部分，若分割得到的三角形與Rt△OAB相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．

Answer 1

（3，0）或（6，4）或（6，）
分析：根據(jù)平行于三角形一邊的直線分成的三角形與原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)寫出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；又當(dāng)PC⊥OB時(shí)，分割得到的三角形與Rt△OAB也相似，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出分割得到的三角形的斜邊的長(zhǎng)度，然后判定點(diǎn)C在AB上，再求出AC的長(zhǎng)度，從而得到此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解答：解：如圖，①PC∥AB時(shí)，△OCP∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；
②PC∥OA時(shí)，△PCB∽△OAB，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）；
③PC⊥OB時(shí)，設(shè)分割得到的三角形的斜邊的長(zhǎng)為x，
根據(jù)勾股定理得，OB=10，
∵P（3，4）為OB的中點(diǎn)，
∴PB=OB=5，
∴=，
解得x=，
∵＞6，
∴點(diǎn)C在邊AB上，
∴AC=8-=，
此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，）；
綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）或（6，4）或（6，）．
故答案為：（3，0）或（6，4）或（6，）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，主要要分情況討論求解．