Question

【題目】在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點(diǎn)D， DE⊥DB交AB于點(diǎn)E．

（1）設(shè)⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；

（2）設(shè)⊙O交BC于點(diǎn)F，連結(jié)EF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；

（2）．

【解析】

（1）因?yàn)辄c(diǎn)D在⊙O上，所以只要連結(jié)圓心和圓上這點(diǎn)，證明OD和AC垂直即可.

利用角平分線、等腰三角形、直角三角形兩銳角互余，完成證明.

（2）利用勾股定理求得AB的長.；利用△ADO∽△ACB對(duì)應(yīng)線段成比例求得BE的長；利用△BEF∽△BAC得=，從而問題得解.

（1）證明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，

∴BE是⊙O的直徑，點(diǎn)O是BE的中點(diǎn)，連結(jié)OD，

∵，∴．

又∵BD為∠ABC的平分線，∴．

∵，∴．

∴，即∴

又∵OD是⊙O的半徑，

∴AC是⊙O的切線．

（2） 解：設(shè)⊙O的半徑為r， 在Rt△ABC中，，

∴

∵，，∴△ADO∽△ACB．

∴．∴．

∴．∴

又∵BE是⊙O的直徑．∴．∴△BEF∽△BAC

∴．