Question

如圖，邊長為4的菱形ABCD的內角∠B=60°，O是對角線AC的中點．E、F、G、H 分別在菱形ABCD的四條邊上，四邊形EBOF與四邊形HDOG關于直線AC對稱，且∠EOF=60°．
（1）當四邊形EBFO與四邊形HDGO關于點O成中心對稱時，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并給予證明；
（2）設四邊形EBFO的面積為S₁，四邊形FCGO的面積為S₂．若m=

2S1

S2

，求m的最大值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據軸對稱和中心對稱的性質證明四邊形EFGH的對角線相等且互相平分，即可證得四邊形EBFO是矩形；
（2）OE＞OF，取AB中點N，BC中點M，連結MN延長交OF延長線于K，首先證明△AOE≌△NOK得到NK=AE，AE=NK=x，利用x表示出S1和S2，即得到m關于x的函數，利用函數的性質即可求解．

解答：解：（1）四邊形EFGH是矩形．
∵四邊形EBOF與四邊形HDOG關于直線AC對稱，
∴OE=OH，OF=OG．
∵四邊形EBFO與四邊形HDGO關于點O成中心對稱，
∴E，O，G在同一直線上，且OE=OG，
F，O，H在同一直線上，且OF=OH，
∴OE=OH=OF=OG，
∴四邊形EFGH對角線互相平分且相等．
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）要使m最大，則OE＞OF．
因為四邊形EBFO的面積在E，F的移動過程變化會出現重復，當OE＞OF時四邊形FCGO的面積，比OE＜OF時四邊形FCGO的面積小．所以m的最大值會在OE＞OF時出現．
如圖，若OE＞OF，取AB中點N，BC中點M，連結MN延長交OF延長線于K．
∵△ABC為等邊三角形，
∴ON=OM=MN=AO=OC=

1

2

AB=2，
∴∠A=∠ONM=60°．
又∵∠AON=∠EOF=60°，
∴∠AON+∠EON=∠EOF+∠EON，
∴∠AOE=∠NOK，
∴在△AOE和△NOK中，

∠A=∠ONM ON=OA ∠AOE=∠NOK

∴△AOE≌△NOK．
∴NK=AE，
設AE=NK=x，則MK=x-2，
∵MF∥NO，
∴

MF

NO

=

MK

NK

，
∴

MF

2

=

x-2

x

，
∴MF=

2(x-2)

x

，
∵S₁=S_△BEO+S_△BFO，
S_△BEO=

1

2

BE•AO•sin60°=

3

2

（4-x），
S_△BFO=

1

2

BF•CO•sin60°=

3

2

[2+

2(x-2)

x

]．
∴S1=

3

2

[4-x+2+

2(x+2)

x

]=

3 (-x2+8x-4)

2x

，
∵S_△AFC=

1

2

S₂，
S_△AFC=

1

2

CF•CO•sin60°=

1

2

[2-

2(x-2)

x

]•

3

=

2 3

x

，
∴m=

2S1

S2

=

S1

1 2 S2

=

3 (-x2+8x-4) 2x

2 3 x

=-

1

4

（x-4）²+3．
∴當x=4時，即AE=4時m取最大值為3．

點評：本題考查了軸對稱以及中心對稱的性質，二次函數的性質，正確得到關于x的函數的解析式是關鍵．