Question

【題目】如圖所示：拋物線交坐標(biāo)軸于、、三點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，在對(duì)稱軸上，在坐標(biāo)軸上．以下結(jié)論：

①存在點(diǎn)，使是等腰直角三角形；②的最小值是；③的最大值是；④若與相似，則的坐標(biāo)恰有兩個(gè)．

其中正確的是________（只填序號(hào)）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

先根據(jù)拋物線的解析式確定點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為；由于為等腰直角三角形，易得，則，可得到點(diǎn)坐標(biāo)為；由于點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到當(dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可計(jì)算；由于三角形任意兩邊之差小于第三邊，則當(dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，有最大值，最大值為的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可計(jì)算出；根據(jù)勾股定理的逆定理可得到，若與相似，則為直角三角形，當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得到，則滿足條件；當(dāng)時(shí)，由于，可得到滿足條件；當(dāng)時(shí)，由于得到，則有滿足條件.

令，則，解得，，令，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，

，

拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，

（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，作直線，直線與軸交于點(diǎn)，如圖，

當(dāng)為等腰直角三角形，則，

，

點(diǎn)坐標(biāo)為，所以①正確；

（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，與直線的交點(diǎn)為，

當(dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，有最小值，最小值為的長(zhǎng)，即，所以②正確；

（3）延長(zhǎng)交直線于，

當(dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，有最大值，最大值為的長(zhǎng)，即，所以③正確；

（3） ，，，

，

，

點(diǎn)點(diǎn)在原點(diǎn)，即的位置時(shí)，，

，

滿足條件，

當(dāng)時(shí)，

，，

，

滿足條件；

當(dāng)時(shí)，

，，

，

滿足條件，所以④錯(cuò)誤.

故答案為：①②③.