Question

【題目】若一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差,則稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”（如,）.已知智慧數(shù)按從小到大的順序構成如下數(shù)列：則第個智慧數(shù)是__________.

Answer 1

【答案】2695

【解析】

如果一個數(shù)是智慧數(shù)，就能表示為兩個正整數(shù)的平方差，設這兩個數(shù)分別m、n，設m＞n，即智慧數(shù)=m2-n2=（m+n）（m-n），因為m，n是正整數(shù)，因而m+n和m-n就是兩個自然數(shù)．要判斷一個數(shù)是否是智慧數(shù)，可以把這個數(shù)分解因數(shù)，分解成兩個整數(shù)的積，看這兩個數(shù)能否寫成兩個正整數(shù)的和與差．

解：1不能表示為兩個正整數(shù)的平方差，所以1不是“智慧數(shù)”．對于大于1的奇正整數(shù)2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整數(shù)都是“智慧數(shù)”．
對于被4整除的偶數(shù)4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．
即大于4的被4整除的數(shù)都是“智慧數(shù)”，而4不能表示為兩個正整數(shù)平方差，所以4不是“智慧數(shù)”．
對于被4除余2的數(shù)4k+2（k=0，1，2，3，…），設4k+2=x2-y2=（x+y）（x-y），其中x，y為正整數(shù)，
當x，y奇偶性相同時，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除；
當x，y奇偶性相異時，（x+y）（x-y）為奇數(shù)，而4k+2為偶數(shù)，總得矛盾．
所以不存在自然數(shù)x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的數(shù)均不為“智慧數(shù)”．
因此，在正整數(shù)列中前四個正整數(shù)只有3為“智慧數(shù)”，此后，每連續(xù)四個數(shù)中有三個“智慧數(shù)”．
因為2017=（1+3×672），4×（672+1）=2692，所以2692是第2017個“智慧數(shù)”，
所以2693是第2018個“智慧數(shù)”，2694÷4=673……2，所以不是智慧數(shù)，2695是第2019個“智慧數(shù)”，
故答案為： 2695．