【題目】如圖①,∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對角線的交點(diǎn)處,∠QPN=α,∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F(點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合).

(1)如圖①,當(dāng)α=90°時,求證:DE+DF=AD.
(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當(dāng)α=60°時,(1)中的結(jié)論變?yōu)? ,請給出證明.
(3)在(2)的條件下,將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),若旋轉(zhuǎn)過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點(diǎn)E,其他條件不變,探究在整個運(yùn)動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系,直接寫出結(jié)論,不用加以證明.

【答案】
(1)

證明:正方形ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)P,

∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,

∴∠APE=∠DPF,

在△APE和△DPF中

∴△APE≌△DPF(ASA),

∴AE=DF,

∴DE+DF=AD


(2)

如圖②,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形,

∴BD=AD,∠DAP=30°,∠ADP=∠CDP=60°,

∴△MDP是等邊三角形,

∴PM=PD,∠PME=∠PDF=60°,

∵∠PAM=30°,

∴∠MPD=60°,

∵∠QPN=60°,

∴∠MPE=∠FPD,

在△MPE和△DPF中,

,

∴△MPE≌△DPF(ASA)

∴ME=DF,

∴DE+DF= AD


(3)

如圖,

如圖③,當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時,

取AD的中點(diǎn)M,連接PM,

∵四邊形ABCD為菱形,∠ADC=120°,

∴AD=CD,∠DAP=30°,AC⊥BD,

∴∠ADP=∠CDP=60°,

∵AM=MD,

∴PM=MD,

∴△MDP是等邊三角形,

∴∠PME=∠MPD=60°,PM=PD,

∵∠QPN=60°,

∴∠MPE=∠FPD,

在△MPE和△DPF中,

,

∴△MPE≌△DPF(ASA).

∴ME=DF,

∴DF﹣DE=ME﹣DE=DM= AD


【解析】(1)利用正方形的性質(zhì)得出角與線段的關(guān)系,易證得△APE≌△DPF,可得出AE=DF,即可得出結(jié)論DE+DF=AD,(2)取AD的中點(diǎn)M,連接PM,利用菱形的性質(zhì),可得出△MDP是等邊三角形,易證△MPE≌△FPD,得出ME=DF,由DE+ME= AD,即可得出DE+DF= AD,(3)①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時,DE+DF= AD,②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長線上時,DF﹣DE= AD.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】兩條對角線相等且互相垂直平分的四邊形是( )

A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列說法不正確的是(
A.0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù)
B.1是絕對值最小的數(shù)
C.一個有理數(shù)不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù)
D.0的絕對值是0

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△ABC中,∠BCA=90°,CD是邊AB上的中線,分別過點(diǎn)C,D作BA和BC的平行線,兩線交于點(diǎn)E,且DE交AC于點(diǎn)O,連接AE.
(1)求證:四邊形ADCE是菱形;
(2)若∠B=60°,BC=6,求四邊形ADCE的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD是一個平行四邊形,BE⊥CD于點(diǎn)E,BF⊥AD于點(diǎn)F,
(1)請用圖中表示的字母表示出平行線AD與BC之間的距離;
(2)若BE=2cm,BF=4cm,求平行線AB與CD之間的距離.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某小組7位同學(xué)的中考體育測試成績(滿分30分)依次為27,30,29,27,30,28,30,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )

A. 30,27 B. 30,29 C. 29,30 D. 30,28

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若等腰三角形一個內(nèi)角為100度,則它的底角為______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題:如圖,正方形ABCD中,E、F分別為AB、AD上的點(diǎn),AF=BE,CE、BF交于H,BF交AC于M,O為AC的中點(diǎn),OB交CE于N,連OH.下列結(jié)論中:①BF⊥CE;②OM=ON;③ ;④ .其中正確的命題有(
A.只有①②
B.只有①②④
C.只有①④
D.①②③④

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB= ,點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn),連接DE,過點(diǎn)E作EF⊥DE.交射線BC于點(diǎn)F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
①求證:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案