【題目】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,AB= ,點E為對角線AC上一動點,連接DE,過點E作EF⊥DE.交射線BC于點F,以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.
①求證:矩形DEFG是正方形;
②探究:CE+CG的值是否為定值?若是,請求出這個定值;若不是,請說明理由.

【答案】①證明:過E作EM⊥BC于M點,過E作EN⊥CD于N點,如圖所示: ∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°,∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC,
∴四邊形EMCN為正方形
∵四邊形DEFG是矩形,
∴EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF,
又∠DNE=∠FME=90°,
在△DEN和△FEM中, ,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴ED=EF,
∴矩形DEFG為正方形,
②解:CE+CG的值為定值,理由如下:
∵矩形DEFG為正方形,
∴DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°
∵四邊形ABCD是正方形,
∵AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG,
在△ADE和△CDG中, ,
∴△ADE≌△CDG(SAS),
∴AE=CG
∴AC=AE+CE= AB= ×2 =4,
∴CE+CG=4 是定值.

【解析】①作出輔助線,得到EN=EM,然后判斷∠DEN=∠FEM,得到△DEN≌△FEM,則有DE=EF即可;②同①的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE,得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可.
【考點精析】掌握矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.

練習冊系列答案
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【題目】如圖①,∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處,∠QPN=α,∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F(點F與點C、D不重合).

(1)如圖①,當α=90°時,求證:DE+DF=AD.
(2)如圖②,將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形,其他條件不變,當α=60°時,(1)中的結論變?yōu)? ,請給出證明.
(3)在(2)的條件下,將∠QPN繞點P旋轉,若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長線交于點E,其他條件不變,探究在整個運動變化過程中,DE,DF,AD之間滿足的數(shù)量關系,直接寫出結論,不用加以證明.

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【題目】如圖,AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=a°.則下列結論:①∠BOE= (180﹣a)°;②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF.其中正確結論(填編號).

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【題目】已知:如圖,在平行四邊形ABCD和矩形ABEF中,ACDF相交于點G.

(1) 試說明DFCE;

(2) ACBFDF,求∠ACE的度數(shù).

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(1)求證:AE=EC;
(2)當∠ABC=60°,∠CEF=60°時,點F在線段BC的什么位置?說明理由.

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【題目】如圖:在△ABC中,CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直線EF分別交AB、AC于M、N.
(1)求證:四邊形AECF為矩形;
(2)試猜想MN與BC的關系,并證明你的猜想;
(3)如果四邊形AECF是菱形,試判斷△ABC的形狀,直接寫出結果,不用說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,∠ABD和∠BDC的平分線交于E , BECD于點F , ∠1+∠2=90°.

(1)試說明:ABCD;
(2)若∠2=25°,求∠BFC的度數(shù).

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動,活動后,就活動的5個主題進行了抽樣調(diào)查(每位同學只選最關注的一個),根據(jù)調(diào)查結果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:

1)這次調(diào)查的學生共有多少名?

2)請將條形統(tǒng)計圖補充完整

3計算出扇形統(tǒng)計圖中進取所對應的圓心角的度數(shù).

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【題目】若一個角為30°,則它的余角的度數(shù)為( )

A. 30° B. 60° C. 150° D. 170°

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