Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)A（-3，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4），在第一象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m,n)，且滿足4m+3n=12.

（1）求二次函數(shù)解析式.

（2）若以點(diǎn)P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)C在對(duì)稱軸上，且2∠CBA+∠PA′O=90.求點(diǎn)C的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(,)；（3）C(-3,-5)或 (-3，)

【解析】

（1）設(shè)頂點(diǎn)式，將B點(diǎn)代入即可求；

（2）根據(jù)4m+3n=12確定點(diǎn)P所在直線的解析式，再根據(jù)內(nèi)切線的性質(zhì)可知P點(diǎn)在∠BAO的角平分線上，求兩線交點(diǎn)坐標(biāo)即為P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)角之間的關(guān)系確定C在∠DBA的角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)或∠ABO的角平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，通過(guò)求角平分線的解析式即可求.

（1）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(-3,0),

設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a(x+3)2，

將B（0，4）代入得，4=9a

∴a=

∴

（2）如圖

∵P（m,n)，且滿足4m+3n=12

∴

∴點(diǎn)P在第一象限的上，

∵以點(diǎn)P為圓心的圓與直線AB、x軸相切，

∴點(diǎn)P在∠BAO的角平分線上，

∠BAO的角平分線：y=，

∴，

∴x=,∴y=

∴P(,)

(3)C(-3,-5)或 (-3，)理由如下：

如圖，A(3，0),可得直線LAB的表達(dá)式為 ，

∴P點(diǎn)在直線AB上，

∵∠PAO=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,

∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,

在對(duì)稱軸上取點(diǎn)D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G點(diǎn),

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,t)

則有(4-t)2+32=t2

t= ,

∴D(-3,),

作∠DBA的角平分線交AG于點(diǎn)C即為所求點(diǎn)，設(shè)為C1

∠DBA的角平分線BC1的解析式為y=x+4,

∴C1的坐標(biāo)為 (-3, )；

同理作∠ABO的角平分線交AG于點(diǎn)C即為所求，設(shè)為C2，

∠ABO的角平分線BC2的解析式為y=3x+4,

∴C2的坐標(biāo)為(-3,-5).

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-3, )或(-3,-5).