Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=acm，AB=bcm（a＞b＞4），半徑為2cm的⊙O在矩形內(nèi)且與AB、AD均相切．現(xiàn)有動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在矩形邊上沿著A→B→C→D的方向勻速移動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)D點(diǎn)時停止移動；⊙O在矩形內(nèi)部沿AD向右勻速平移，移動到與CD相切時立即沿原路按原速返回，當(dāng)⊙O回到出發(fā)時的位置（即再次與AB相切）時停止移動．已知點(diǎn)P與⊙O同時開始移動，同時停止移動（即同時到達(dá)各自的終止位置）．

（1）如圖①，點(diǎn)P從A→B→C→D，全程共移動了 cm（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）如圖①，已知點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，移動2s到達(dá)B點(diǎn)，繼續(xù)移動3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)．若點(diǎn)P與⊙O的移動速度相等，求在這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離；

（3）如圖②，已知a=20，b=10．是否存在如下情形：當(dāng)⊙O到達(dá)⊙O1的位置時（此時圓心O1在矩形對角線BD上），DP與⊙O1恰好相切？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a+2b；（2）20cm；（3）存在，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）點(diǎn)P運(yùn)動的路程等于（AB+BC+CD）的長度；（2）圓心移動的距離為2（a－4）cm，然后根據(jù)點(diǎn)P運(yùn)動的路程等于圓心移動的距離以及點(diǎn)P繼續(xù)移動3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P用3s移動了cm列出方程組從而求出a和b的長度，然后得出圓心移動的速度，從而求出圓心移動的距離；（3）設(shè)點(diǎn)P移動的速度為v1cm/s，⊙O移動的速度為v2cm/s，從而求出兩個速度的比值.設(shè)直線OO1與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，⊙O1與AD相切于點(diǎn)G，得出△DO1G≌△DO1H，設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，根據(jù)Rt△PCD的勾股定理求出x的值，根據(jù)△BEO1∽△BAD得出EO1和OO1的長度，然后分當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14cm以及當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為18cm分別進(jìn)行說明，得出答案.

試題解析：（1）a+2b．

（2）∵在整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)P移動的距離為cm，圓心O移動的距離為cm，

由題意，得①

∵點(diǎn)P移動2s到達(dá)B點(diǎn)，即點(diǎn)P用2s移動了bcm，

點(diǎn)P繼續(xù)移動3s，到達(dá)BC的中點(diǎn)，即點(diǎn)P用3s移動了cm． ∴．②

由①②解得 ∵點(diǎn)P移動的速度與⊙O 移動的速度相等，

∴⊙O 移動的速度為（cm/s）． ∴這5s時間內(nèi)圓心O移動的距離為5×4=20（cm）．

（3）存在這種情形．

設(shè)點(diǎn)P移動的速度為v1cm/s，⊙O移動的速度為v2cm/s，

由題意，得．

如圖，設(shè)直線OO1與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，⊙O1與AD相切于點(diǎn)G．

若PD與⊙O1相切，切點(diǎn)為H，則O1G=O1H． 易得△DO1G≌△DO1H，∴∠ADB=∠BDP．

∵BC∥AD，∴∠ADB=∠CBD． ∴∠BDP=∠CBD．∴BP=DP． 設(shè)BP=xcm，則DP=xcm，PC=（20-x）cm，

在Rt△PCD中，由勾股定理，可得，

即，解得．

∴此時點(diǎn)P移動的距離為（cm）．

∵EF∥AD，∴△BEO1∽△BAD．

∴，即．

∴EO1=16cm．∴OO1=14cm．

①當(dāng)⊙O首次到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為14cm，∴此時點(diǎn)P與⊙O移動的速度比為．

∵， ∴此時PD與⊙O1不可能相切．

②當(dāng)⊙O在返回途中到達(dá)⊙O1的位置時，⊙O移動的距離為2×（20-4）-14=18（cm），

∴此時點(diǎn)P與⊙O移動的速度比為． ∴此時PD與⊙O1恰好相切．