Question

9．如圖，點(diǎn)A為雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上一點(diǎn)，AC⊥x軸于C，過C的直線l交雙曲線于B，∠BCO=30°，BC=2$\sqrt{3}$，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為-1．
（1）求k的值；
（2）連接AB，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D．由“AC⊥x軸于C，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為-1”可知C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），在Rt△BDC中，通過∠BCD的正余弦值可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可求出k的值；
（2）利用（1）中的k值得出反比例函數(shù)的解析式，將x=-1代入其中求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖1所示．

∵AC⊥x軸于C，點(diǎn)A橫坐標(biāo)為-1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）．
在Rt△BDC中，∠BCO=30°，BC=2$\sqrt{3}$，
∴BD=BC•sin∠BCD=$\sqrt{3}$，CD=BC•cos∠BCD=3，OD=CD-OC=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$）．
將點(diǎn)B（2，$\sqrt{3}$）代入到雙曲線y=$\frac{k}{x}$中得：
$\sqrt{3}$=$\frac{k}{2}$，解得：k=2$\sqrt{3}$．
（2）依照題意畫出圖形，如圖2所示．

反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
令x=-1，則y=$\frac{2\sqrt{3}}{-1}$=-2$\sqrt{3}$，
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，-2$\sqrt{3}$）．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×[$\sqrt{3}$-（-2$\sqrt{3}$）]=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是：（1）求出B點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由A、B點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積公式求出△ABC的面積．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，通過解直角三角形找出點(diǎn)的坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是關(guān)鍵．