Question

2．如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)B為中心將△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A₁處，此時(shí)，點(diǎn)C落在點(diǎn)C₁的位置，聯(lián)結(jié)AA₁、CC₁交于點(diǎn)O，CC₁與AB交于點(diǎn)D，AA₁與BC₁交于點(diǎn)E，求四邊形BDOE的面積．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)C₁作C₁F⊥BA₁于點(diǎn)F，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC=∠A₁BC₁，AB=A₁B，BC=BC₁，求得∠ABA₁=∠CBC₁，推出B，C，A，O四點(diǎn)共圓，連接BO，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=∠ACB=90°，AO=A₁O，同理B，O，C₁A₁四點(diǎn)共圓，根據(jù)勾股定理得到AA₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，∴AO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，推出△CDB∽△A₁BE，同理△A₁BE∽△ADO，設(shè)S_△CDB=x，S_{四邊形BDOE}=y，則S${\;}_{△{A}_{1}EB}$$\frac{25}{16}$x，S_△ADO=$\frac{45}{32}$x，于是得到S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×（4+5）=$\frac{27}{2}$，由CO平分△ACA₁的面積，得到S${\;}_{△CO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{27}{4}$，S${\;}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∠ABC=∠A₁BC₁，AB=A₁B，BC=BC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁，
∴△ABA₁∽△CBC₁，
∴∠OAB=∠OCB，
∴B，C，A，O四點(diǎn)共圓，
連接BO，
∴∠AOB=∠ACB=90°，AO=A₁O，同理B，O，C₁A₁四點(diǎn)共圓，
∵∠ACB=90°，
∴AA₁=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{A}_{1}}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∴AO=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$，
∵∠ABC=∠A₁BC₁，∠DCB=∠DC₁B=∠CA₁E，
∴△CDB∽△A₁BE，同理△A₁BE∽△ADO，
設(shè)S_△CDB=x，S_{四邊形BDOE}=y，
則S${\;}_{△{A}_{1}EB}$$\frac{25}{16}$x，S_△ADO=$\frac{45}{32}$x，
∴S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×3×（4+5）=$\frac{27}{2}$，
∵CO平分△ACA₁的面積，
∴S${\;}_{△CO{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△AC{A}_{1}}$=$\frac{27}{4}$，S${\;}_{△AB{A}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×5×3=$\frac{15}{2}$，
∴解方程組$\left\{\begin{array}{l}{（1+\frac{25}{16}）x+y=\frac{27}{4}}\\{（\frac{25}{16}+\frac{45}{32}）x+y=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{24}{13}}\\{y=\frac{105}{52}}\end{array}\right.$，
∴四邊形BDOE的面積=$\frac{105}{52}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，四點(diǎn)共圓，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．