Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F，若BC＝4，∠CBD＝30°，則AE的長(zhǎng)為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

如圖，作EH⊥AB于H，利用∠CBD的余弦可求出BD的長(zhǎng)，利用∠ABD的余弦可求出AB的長(zhǎng)，利用∠EBH的正弦和余弦可求出BH、HE的長(zhǎng)，即可求出AH的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)即可．

如圖，作EH⊥AB于H，

在Rt△BDC中，BC＝4，∠CBD＝30°，

∴BD＝BC·cos30°=2，

∵BD平分∠ABC，∠CBD＝30°，

∴∠ABD=30°，∠EBH=60°，

在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2，

∴AB＝BD·cos30°=3，

∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，

∴BE＝EC＝2，

在Rt△BEH中，BH＝BE·cos∠EBH＝1，HE＝EH·sin∠EBH＝，

∴AH=AB-BH=2，

在Rt△AEH中，AE＝＝，

故選：D．