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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,△ABC⊙O的內接三角形,AB=AC,P 的中點,連結PA,PB,PC.

(1)如圖(a),∠BPC=60°,求證:AC=AP;

(2)如圖(b),sin∠BPC=,tan∠PAB的值.

     

【答案】(1)詳見解析;(2)tan∠PAB=.

【解析】

(1)利用已知條件易證△ABC為等邊三角形,所以∠ACB=60°,因為點P是弧AB的中點,所以∠ACP=30°,進而證明AC=AP;
(2)①由等腰三角形的性質可得∠BAC=2∠CAF,由圓周角定理可得∠FOC=2∠CAF,進而可證明∠FOC=∠BAC;
②過點E作EG⊥AC于G,連接OC,設FC=24a,則OC=OA=25a,因為OF=7a,AF=32a.在Rt△AFC中,AC2=AF2+FC2,所以AC=40a,進而可求出tan∠PAB的值.

解:(1)證明:∵∠BAC=∠BPC=60°.

∵AB=AC,

∴△ABC為等邊三角形,

∴∠ACB=60°,

P的中點,

∴∠ACP=30°,

∵∠APC=∠ABC=60°,

∴AC=AP.

(2)如圖連結AO并延長交PC于點E,BC于點F,過點EEG⊥AC于點G,連結OC.

∵AB=AC,

∴AF⊥BC,BF=CF.

P的中點,

∴∠ACP=∠PCB,

∴EG=EF.

∵∠BPC=∠BAC,

∵∠BAC=∠FOC,

∴∠BPC=∠FOC,

∴sin∠FOC=sin∠BPC=.

FC=24a,OC=OA=25a,

∴OF=7a,AF=32a.

Rt△AFC,AC2=AF2+FC2,∴AC=40a.

Rt△AGERt△AFC,sin∠FAC= ,

,∴EG=12a.

∴tan∠PAB=tan∠PCB=.

練習冊系列答案
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