Question

12．一工廠共有6條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種機(jī)器設(shè)備，每條生產(chǎn)線每月可生產(chǎn)500臺(tái)，該廠計(jì)劃從今年1月開始對6條生產(chǎn)線各進(jìn)行一次改造升級，每月改造升級1條生產(chǎn)線，這條生產(chǎn)線當(dāng)月停產(chǎn)，并于次月再投入生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線改造升級后，每月產(chǎn)量將比原來提高20%．已知每條生產(chǎn)線改造升級的費(fèi)用為30萬元，將今年1月份作為第1個(gè)月開始往后算，該廠第x（x是正整數(shù)）個(gè)月的產(chǎn)量設(shè)為y臺(tái)．
（1）求該廠第3個(gè)月的產(chǎn)量；
（2）請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）如果每生產(chǎn)一臺(tái)機(jī)器可盈利400元，至少要到第幾個(gè)月，這期間該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費(fèi)用后的盈利總金額將超過同樣時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時(shí)的盈利總額？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：第3個(gè)月的產(chǎn)量=前2條生產(chǎn)線改造后的產(chǎn)量和+后3條生產(chǎn)線未改造的產(chǎn)量和，列式計(jì)算可得；
（2）當(dāng)1≤x≤6時(shí)，根據(jù)（1）中相等關(guān)系可列函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x＞6時(shí)，總產(chǎn)量=改造后每條生產(chǎn)線的產(chǎn)量×生產(chǎn)線數(shù)量；
（3）根據(jù)前6個(gè)月的總盈利=一臺(tái)機(jī)器的盈利×前6個(gè)月的生產(chǎn)量-改造升級的總費(fèi)用，計(jì)算出前6個(gè)月的總盈利，再計(jì)算出不升級改造的總盈利可得x＞6，繼而根據(jù)：該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費(fèi)用后的盈利總金額≥同樣時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時(shí)的盈利總額，列出不等式即可得x的范圍．

解答 解：（1）由已知可得，第3個(gè)月的產(chǎn)量是：
2×500×（1+20%）+500×3=2700（臺(tái)），
答：該廠第3個(gè)月的產(chǎn)量是2700臺(tái)．

（2）①當(dāng)1≤x≤6時(shí)，每月均有一條生產(chǎn)線在停產(chǎn)改造，即均是有5條生產(chǎn)線在生產(chǎn)，
其中，升級后的生產(chǎn)線有x-1條，未升級的生產(chǎn)線有6-x條，
根據(jù)題意，得：y=（x-1）×500×（1+20%）+（6-x）×500=100x+2400；
②當(dāng)x＞6時(shí)，y=500×（1+20%）×6=3600臺(tái)；
綜上，y=$\left\{\begin{array}{l}{100x+2400}&{（1≤x≤6）}\\{3600}&{（x＞6）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）得，當(dāng)1≤x≤6時(shí)，y=100x+2400，
則前6個(gè)月的總產(chǎn)量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400×6=16500（臺(tái)），
∴前6個(gè)月的盈利扣除改造升級的成本應(yīng)是：16500×0.04-30×6=480（萬元），
如果不升級改造，前6個(gè)月盈利應(yīng)是：500×6×6×0.04=720（萬元），
故前6個(gè)月不符合題目要求，從而得x＞6，
則有：480+（x-6）×3600×0.04≥500×6x×0.04，
解得：x≥16，
答：至少要到第16個(gè)月，這期間該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費(fèi)用后的盈利總金額將超過同樣時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時(shí)的盈利總額．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)的運(yùn)用、列一元一次不等式解實(shí)際問題的運(yùn)用，總盈利=一臺(tái)機(jī)器的盈利×生產(chǎn)量-改造升級的總費(fèi)用，解答時(shí)求出一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．