Question

12．一工廠共有6條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種機器設(shè)備，每條生產(chǎn)線每月可生產(chǎn)500臺，該廠計劃從今年1月開始對6條生產(chǎn)線各進行一次改造升級，每月改造升級1條生產(chǎn)線，這條生產(chǎn)線當(dāng)月停產(chǎn)，并于次月再投入生產(chǎn)，每條生產(chǎn)線改造升級后，每月產(chǎn)量將比原來提高20%．已知每條生產(chǎn)線改造升級的費用為30萬元，將今年1月份作為第1個月開始往后算，該廠第x（x是正整數(shù)）個月的產(chǎn)量設(shè)為y臺．
（1）求該廠第3個月的產(chǎn)量；
（2）請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）如果每生產(chǎn)一臺機器可盈利400元，至少要到第幾個月，這期間該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費用后的盈利總金額將超過同樣時間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時的盈利總額？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)：第3個月的產(chǎn)量=前2條生產(chǎn)線改造后的產(chǎn)量和+后3條生產(chǎn)線未改造的產(chǎn)量和，列式計算可得；
（2）當(dāng)1≤x≤6時，根據(jù)（1）中相等關(guān)系可列函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x＞6時，總產(chǎn)量=改造后每條生產(chǎn)線的產(chǎn)量×生產(chǎn)線數(shù)量；
（3）根據(jù)前6個月的總盈利=一臺機器的盈利×前6個月的生產(chǎn)量-改造升級的總費用，計算出前6個月的總盈利，再計算出不升級改造的總盈利可得x＞6，繼而根據(jù)：該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費用后的盈利總金額≥同樣時間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時的盈利總額，列出不等式即可得x的范圍．

解答 解：（1）由已知可得，第3個月的產(chǎn)量是：
2×500×（1+20%）+500×3=2700（臺），
答：該廠第3個月的產(chǎn)量是2700臺．

（2）①當(dāng)1≤x≤6時，每月均有一條生產(chǎn)線在停產(chǎn)改造，即均是有5條生產(chǎn)線在生產(chǎn)，
其中，升級后的生產(chǎn)線有x-1條，未升級的生產(chǎn)線有6-x條，
根據(jù)題意，得：y=（x-1）×500×（1+20%）+（6-x）×500=100x+2400；
②當(dāng)x＞6時，y=500×（1+20%）×6=3600臺；
綜上，y=$\left\{\begin{array}{l}{100x+2400}&{（1≤x≤6）}\\{3600}&{（x＞6）}\end{array}\right.$．

（3）由（2）得，當(dāng)1≤x≤6時，y=100x+2400，
則前6個月的總產(chǎn)量Q=100×（1+2+3+4+5+6）+2400×6=16500（臺），
∴前6個月的盈利扣除改造升級的成本應(yīng)是：16500×0.04-30×6=480（萬元），
如果不升級改造，前6個月盈利應(yīng)是：500×6×6×0.04=720（萬元），
故前6個月不符合題目要求，從而得x＞6，
則有：480+（x-6）×3600×0.04≥500×6x×0.04，
解得：x≥16，
答：至少要到第16個月，這期間該廠的盈利扣除生產(chǎn)線改造升級費用后的盈利總金額將超過同樣時間內(nèi)生產(chǎn)線不作改造升級時的盈利總額．

點評 本題考查了一次函數(shù)的運用、列一元一次不等式解實際問題的運用，總盈利=一臺機器的盈利×生產(chǎn)量-改造升級的總費用，解答時求出一次函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．