【題目】已知四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)P在直線BC上,點(diǎn)G在直線AD上(P,G不與正方形頂點(diǎn)重合,且在CD的同側(cè)),PD=PG,DF⊥PG于點(diǎn)H,交直線AB于點(diǎn)F,將線段PG繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE,連結(jié)EF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD上時(shí).
①請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DG與PC的數(shù)量關(guān)系(不要求證明);
②求證:四邊形PEFD是菱形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)G分別在線段BC與線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)猜想四邊形PEFD是怎樣的特殊四邊形,并證明你的猜想.
【答案】(1)①DG=2PC,理由見(jiàn)解析;②見(jiàn)解析;(2)四邊形PEFD是菱形,理由見(jiàn)解析.
【解析】
(1)①結(jié)論:DG=2PC,如圖1中,作PM⊥AD于M.只要證明四邊形PMDC是矩形,推出PC=DM,再證明MG=MD即可解決問(wèn)題.
②由四邊形PMDC是矩形得CD=PM,由△ADF≌△MPG,推出PG=PF,進(jìn)而可得DP=PF,再證明DF∥PE,推出四邊形PEFD是平行四邊形,再結(jié)合PD=PE即可證明四邊形PEFD是菱形;
(2)如圖2中,作PM⊥AD于M.則四邊形CDMP是矩形,CD=PM,由△ADF≌△MPG,推出DP=PG=PE=PF,再證明DF∥PE,推出四邊形PEFD是平行四邊形,由PD=PE,即可證明四邊形PEFD是菱形.
解:(1)①結(jié)論:DG=2PC.
理由:如圖1中,作PM⊥AD于M.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠C=∠CDM=∠DMP=90°,AD=CD,
∴四邊形DCPM是矩形,
∴PC=DM,
∵PD=PG,PM⊥DG,
∴MG=MD,
∴DG=2PC.
線段DG與PC的數(shù)量關(guān)系為DG=2PC.
②∵四邊形CDMP是矩形,
∴CD=PM,
∵AD=CD,
∴AD=PM,
∵DF⊥PG,
∴∠DAF=∠PMG=∠GHD=90°,
∴∠ADF+∠AFD=90°,∠ADF +∠PGM=90°,
∴∠AFD=∠PGM,
在△ADF和△MPG中,
,
∴△ADF≌△GMP,
∴DF=PG
∵PG=PE=PD,
∴DP=PG=PE=PD,
∵∠FHG=∠EPG=90°,
∴DF∥PE,
∴四邊形PEFD是平行四邊形,
∵PD=PE,
∴四邊形PEFD是菱形.
(2)結(jié)論:四邊形PEFD是菱形.
理由:如圖2中,作PM⊥AD于M.則四邊形CDMP是矩形,CD=PM,
∵∠DAF=∠PMG=∠DHG=90°,
∴∠ADF+∠AFD=90°,∠G+∠GDH=90°,
∵∠ADF=∠GDH,
∴∠AFD=∠G,
∵AD=CD,CD=PM,
∴AD=PM,
在△ADF和△MPG中,
,
∴△ADF≌△MPG,
∴DP=PG=PE=PD,
∵∠FHG=∠EPG=90°,
∴DF∥PE,
∴四邊形PEFD是平行四邊形,
∵PD=PE,
∴四邊形PEFD是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把一個(gè)直角三角形ACB(∠ACB=90°)繞著頂點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使得點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊上的一點(diǎn)D,點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E的位置.F,G分別是BD,BE上的點(diǎn),BF=BG,延長(zhǎng)CF與DG交于點(diǎn)H.
(1)求證:CF=DG;
(2)求出∠FHG的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,則圖中全等三角形的組數(shù)是( )
A.3組B.4組C.5組D.6組
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是菱形,點(diǎn)D的坐標(biāo)是(0,),以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c恰好經(jīng)過(guò)x軸上A、B兩點(diǎn).
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)若將上述拋物線沿其對(duì)稱(chēng)軸向上平移后恰好過(guò)D點(diǎn),求平移后拋物線的解析式,并指出平移了多少個(gè)單位長(zhǎng)度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】同學(xué)們,數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活,利用數(shù)學(xué)中的知識(shí)可以幫助我們解決許多實(shí)際問(wèn)題.如王明想建一個(gè)超市,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)他家附近有兩個(gè)大的居民區(qū),,同時(shí)又有相交的兩條公路,,為方便進(jìn)貨和居民生活,王明想把超市建在到兩居民區(qū)的距離相等,同時(shí)到兩公路距離也相等的位置上,繪制了如下的居民區(qū)和公路的位置圖.聰明的你一定能用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)幫助王明在圖上確定超市的位置!請(qǐng)用尺規(guī)作圖確定超市點(diǎn)的位置.(作圖不寫(xiě)作法,但要求保留作圖痕跡)
先將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,把超市看作一個(gè)點(diǎn).
點(diǎn)到,兩點(diǎn)的距離相等,根據(jù)性質(zhì):__________________, 需用尺規(guī)作出_____________;又點(diǎn)到兩相交直線,的距離相等,根據(jù)性質(zhì):_________________, 需用尺規(guī)作出_______________;而點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足上述兩個(gè)條件,因此應(yīng)該是它們的交點(diǎn).
請(qǐng)同學(xué)們先完成分析過(guò)程(即填空) ,再作圖;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把一塊三角板放在直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi),其中30°角的頂點(diǎn)A落在y軸上,直角頂點(diǎn)C落在x軸的(,0)處,∠ACO=60°,點(diǎn)D為AB邊上中點(diǎn),將△ABC沿x軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)A落在直線y=x﹣3上時(shí),線段CD掃過(guò)的面積為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小穎和小亮上山游玩,小穎乘坐纜車(chē),小亮步行,兩人相約在山頂?shù)睦|車(chē)終點(diǎn)會(huì)合.已知小亮行走到纜車(chē)終點(diǎn)的路程是纜車(chē)到山頂?shù)木路長(zhǎng)的2倍,小穎在小亮出發(fā)后50分才乘上纜車(chē),纜車(chē)的平均速度為180米/分,設(shè)小亮出發(fā)x分后行走的路程為y米.圖中的折線表示小亮在整個(gè)行走過(guò)程中y隨x的變化關(guān)系.
(1)小亮行走的總路程是_________米,他途中休息了___________分;
(2)分別求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度;
(3)當(dāng)小穎到達(dá)纜車(chē)終點(diǎn)時(shí),小亮離纜車(chē)終點(diǎn)的路程是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)E在AD邊上,點(diǎn)F在AD的延長(zhǎng)線上,且BE=CF.
(1)求證:四邊形EBCF是平行四邊形.
(2)若∠BEC=90°,∠ABE=30°,AB=,求ED的長(zhǎng).
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【題目】某天早晨,張強(qiáng)從家跑步去體育鍛煉,同時(shí)媽媽從體育場(chǎng)晨練結(jié)束回家,途中兩人相遇,張強(qiáng)跑到體育場(chǎng)后發(fā)現(xiàn)要下雨,立即按原路返回,遇到媽媽后兩人一起回到家(張強(qiáng)和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走).如圖是兩人離家的距離y(米)與張強(qiáng)出發(fā)的時(shí)間x(分)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題:
(1)求張強(qiáng)返回時(shí)的速度;
(2)媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家?
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出張強(qiáng)與媽媽何時(shí)相距1000米?
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